Loi commutative

Pour en finir avec . Bien sur ce titre n’est qu’une accroche marketing, et je n’en finirai sans doute avec rien, mais si j’arrive à me faire comprendre par quelques uns ce ne sera déjà pas si mal. Remarque liminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière)

Commutativité de ∧ et de ∨ p∧q⇔q∧p p∨q⇔q∨p Associativité de ∧ et de ∨ (p∧q)∧r⇔p∧(q∧r)⇔r∧(q∧p)⇔… (p∨q)∨r⇔p∨(q∨r)⇔r∨(q∨p)⇔… Double distributivité p∨(q∧r)⇔(p∧q)∨(p∧r) p∧(q∨r)⇔(p∨q)∧(p∨r) Loi de Morgan ( Important à savoir) ¬(p∧q)⇔ (¬p)∨(¬q) ¬(p∨q)⇔(¬p)∧(¬q) Principe de dualité Grâce à la loi de Morgan, à partir d'une identité, on peut en construire une autre, en échangeant les ∧ et les ∨. Exemple : p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r) L'identité duale est donc : p∨( q∧r)⇔( p∨q)∧(p∨r) 

Ces axiomes permettent de définir sur l'addition, le produit, la relation d'ordre, avec toutes leurs propriétés bien connues ... Nous ne nous étendrons pas sur ce sujet et nous admettrons (ce qui est bien connu) que : + est associative. + est commutative. + possède un élément neutre 0. Seul 0 possède un symétrique pour +, lui–même. Ces propriétés font de ( ,+) un monoïde. × est associatif. × est commutatif. × possède un élément neutre, 1, successeur de 0. Seul 1 possède un symétrique pour ×, lui–même

sa dimension. Exprimer A2 , B 2 , AB et BA à l’aide de I , A et B . Soit (a, b, c) ∈ ℝ 3 , (a ′, b ′, c ′) ∈ ℝ 3 , M = T (a, b, c ) et M ′ = T (a ′, b ′, c ′) . Calculer le produit MM ′ . Montrer que F est une sous-algèbre de M 3 (ℝ) . Est-elle commutative ? (F , +,×) est-il un corps ? Cette question est consacrée à la recherche des éléments inversibles de l’algèbre F . On fixe (a, b, c) ∈ ℝ 3 et on pose M = T (a, b, c ) . Calculer le déterminant de la matrice M et factoriser le résultat. On reprend

fashion, i.e., r r r r by connecting the head of A to the tail of B . The resultant R extends from the tail of A r r r r to the head of B . In similar manner, R can also be obtained by adding A to B . By comparison, it is seen that vector addition is commutative; in other word the vectors can r r r r r be added in either order, i.e., R = A + B = B + A . Triangle construction Vector Subtraction: r r In the above vector addition, if B is considered as − B , the vector addition could be applied. Vector

Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc .:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e Chapitre III: Polynˆmes sur R et C o Chapitre IV: Fractions rationnelles Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006

CHAPITRE II VECTEURS DU PLAN I) LES VECTEURS 1.Notation. Egalité ABCD et CDEF sont des parallélogrammes. On a AB = DC et D C = EF . La translation qui transforme A en B transforme aussi D en C et E en F. On peut donc noter AB , DC o u E F le vecteur de cette translation. On le notera plus généralement u . Ainsi on écrira : u = AB , u = DC , u = EF Deux vecteurs AB et DC sont égaux s’ils ont même direction, même sens et si leurs longueurs AB et CD sont égales. On note 0 le vecteur nul (pour tout

(x0 , y0 ) et M1 (x1 , y1 ) sont donnés. On construit le point P0 par les conditions : - les droites (P0 M0 ) et (Ox) sont parallèles ; - P0 ∈ (AB). On construit le point Q0 par les conditions : = x0 + x1 y0 y0 y1 b) Démontrer que la loi est associative, admet un élément neutre et que, si y0 = 0, le point M0 admet un inverse. c) On définit une suite de points (Mn )n∈N par la donnée de M0 , de M1 et de la relation de récurrence valable pour tout entier n 2 Mn = Mn−1 Mn−2 Déterminer

B= B U A 2. Associativité des unions : A (B U C)= (A U B) U C = A U B U C 3. Commutativité des intersections : A ∩ B =B ∩ A 4. Associativité des intersections : A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) C = A B C 5. Première loi de distribution : A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩C) 6. Seconde loi de distribution : A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) QUELQUES NOTIONS DE PROBABILITE P(A)= card A / card Ω C A D : P ( A ) = nombre d’éléments de A / nombre d’éléments de Ω ; P(Ω ) = 1 c’est la probabilité

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n: I/ Formes n Linéaires Alternées Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ;