Loi commutative

Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel 9 3) (A + B)C = AC + BC 4) C(A + B) = CA + CB Pour vu que les produits qui gurent dans les expressions soient dénis. Remarque 1. : 1) La multiplication matricielle n'est pas en général commutative, c.à.d AB = BA. 2) La simplication n'est pas vraie en général, c.à.d AB = O n'entraîne pas, nécessairement A = O ou B = O. 3) Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I . Exemple 5. :  1) A= 1 0 0 0 

Remarque : Comparaison de deux complexes : il est possible de définir une relation d’ordre dans C qui est le prolongement de la relation d’ordre dans R. On compare les parties réelles et en cas d’égalité les parties imaginaires. En notant " " une telle loi, on aurait : a + ib On a ainsi : 2 + 5i c + id ⇔ a 0 , deux solutions réelles : √ −b + ∆ z1 = 2a 2) Si ∆ = 0, une solution réelle double : √ −b − ∆ et z2 = 2a z0 = − b 2a 3) Si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées avec ∆ = i2

temps continu. On définit le produit de convolution des deux signaux, ou plus simplement leur convolution, par : (x ¤ y)(t) ¢= Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ (1.12) On vérifie aisément que (x ¤ y)(t) = (y ¤ x)(t), c’est-à-dire que la convolution est commutative, et donc que : Z +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ = Z +1 ¡1 x(t ¡ µ)y(µ)dµ (1.13) Transformée de Fourier : Calculons TF[(x ¤ y)(t)]... TF[(x ¤ y)(t)] = Z +1 ¡1 µZ +1 ¡1 x(µ)y(t ¡ µ)dµ ¶ e¡j2¼ºtdt Ou : TF[(x ¤ y)(t)] = Z +1 ¡1 Z +1 ¡1 x(µ)y(t

3 °5 °2 A°B = . °3 0 °1 L’addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises : Proposition 1 Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p (K). Soient Æ 2 K et Ø 2 K deux scalaires. 1. A + B = B + A : la somme est commutative, 2. A + (B + C) = (A + B) + C : la somme est associative, 3. A + 0 = A : la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition, 4. (Æ + Ø)A = Æ A + Ø A, 5. Æ(A + B) = Æ A + ÆB. Démonstration Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général

ANNEAUX ET CORPS 1. Groupes D´finition 1 (Groupe). Un groupe (G, ⋆, e) est un ensemble G muni d’une loi de composition e • la loi ⋆ est associative, i.e. (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pour tout x, y, z ∈ G, • il existe un ´l´ment neutre e, i.e. x ⋆ e = e ⋆ x = x, pour tout x ∈ G, ee • tout ´l´ment a un inverse, i.e. pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que x ⋆ y = y ⋆ x = e ee Lorsque la loi ⋆ est commutative, on parle de groupe commutatif ou de groupe ab´lien. e D´finition 2 (Sous-groupe). Un sous-groupe

dans C Proposition 2.1.1 (propriétés de l’addition dans C) L’ensemble C est muni d’une opération (ou loi de composition), notée +, avec les propriétés suivantes : (1a) La loi + est commutative : ∀ (x, y) ∈ C2 , x + y = y + x (1b) La loi + est associative : ∀ (x, y, z) ∈ C3 , x + (y + z) = (x + y) + z (1c) Pour la loi +, l’entier naturel 0 est élément neutre : ∀ x ∈ C, x + 0 = x (1d) Pour la loi +, tout x de C possède un opposé (noté −x), donc tel que x + (−x) = 0 ; La notation x − y doit être comprise

un ensemble quelconque On vérifiera aisément que l’addition sur Rn est un cas particulier de la notion de loi de groupe définie ci-dessous. 3.1 Loi de groupe Si E est un ensemble, on dit qu’il est muni d’une loi de groupe + (appelée addition) s’il existe une façon d’associer à tous éléments u et v de E un troisième élément2 de E, noté u + v vérifiant les propriétés suivantes : a) la loi est associative : pour tous éléments u, v et w de E on a (u + v) + w = u + (v + w). Autrement dit, commencer

d’´quivalence sur un ensemble E et : E × E → E une loi de composition interne. e On dit que passe au quotient par R s’il existe une application ¯ : E/R × E/R → E/R telle que l’on ait x¯y = x y. ¯ ¯ On appelle alors ¯ la loi quotient. Sans myst`re, on a le e Th´or`me (slogan) 1.7. Soit R une relation d’´quivalence sur un ensemble E et e e e interne. Pour que passe au quotient par R, il faut et il suffit que l’on ait [xRx ] ∧ [yRy ] ⇒ (x y)R(x y) . : E × E → E une loi de composition . 3 ´ 2. Une application

partir de 10000. Opérations L'addition (sur N, Z, D, Q, R) une loi de composition interne (∀ a et b ϵ E, a+b ϵ E), est commutative (a+b=b+a), associative (a+b+c=a+b+c), dispose d'un élément neutre : 0 (a+0=0+a=a), est compatible avec la relation d'ordre (si cϵN, a≤b→a+c≤b+c), chaque élément dispose d'un symétrique (a+as=as+a=0, pas sur N). La multiplication (sur N, Z, D, Q, R) est une loi de composition interne, est commutative, associative, dispose d'une élément neutre (1), est distributive sur

2 Table des mati`res e Structures usuelles 1 Les nombres complexes 1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 D´finition d’une loi ⊕ dans R2 . . . . . . . . . . . e 1.1.3 D´finition d’une loi ∗ dans R2 . . . . . . . . . . . . e 1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propri´t´s de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2.1 Propri´t´s alg´briques . . . . . . . . . .