Loi commutative

Endomorphismes normaux Notations. — Dans la suite K d´signe un corps commutatif de caract´ristique = 2 (et le plus e e souvent K = R ou C). 1. Endomorphismes remarquables d’un espace quadratique. D´finition . — On dit dit que le couple (E, φ) est un espace quadratique lorsque e E est un K-espace vectoriel et φ une forme bilin´aire sym´trique non d´g´n´r´e sur E, ie : e e e e e e ∀x ∈ E, (∀y ∈ E, φ(x, y) = 0 ⇒ x = 0). Dans la suite de cette section, on fixe (E, φ) un espace quadratique. D´finition

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

63 | Problèmes aDDItIFs, soustractIFs et multIPlIcatIFs Problèmes de multiplication et de division au cycle 2 Valérie bistos et nicole matulik Cadre du socle commun de connaissances et de compétences4 Des approches concrètes et pratiques des mathématiques […] aident les élèves à comprendre les notions abstraites. […] Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne. […] La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce

Mathématiques Domaine : nombres et calcul Connaissance ou compétence visée : connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition. Niveau : CP Cycle 2 |Programmes et progression|Cycle 1 : | | |Chaîne numérique jusqu’à 30 | | |Les nombres sont

[ ] ][ 2 ×04 ×01 ×1 2 ×14 ×11 ×5 2 ×44 ×71 ×6 1 11 42 = 3 ×02 ×02 ×1 3 ×12 ×12 ×5 3 ×42 ×72 ×6 2 15 38 ] 6 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 – 605) e. Propriétés de la multiplication La multiplication n'est pas commutative : AxB  BxA Exemple [ ] 2 0 3 4 A= et [ ] B= −1 1 4 5 La multiplicatin est distributive par rapport à l'addition : A × (B + C) = A × B + B × C Exemple [ ] A= 2 0 3 4 , [ ] B= −1 1 4 5 et [ ] C= 1 7 8 2 La multiplication est associative

, où A est un point quelconque du plan et C son image par les translations successives de vecteurs respectifs u et v . Remarques : La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi. Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est commutative, c'est-à-dire u + v = v + u associative, c'est-à-dire ( u + v ) + w = u + ( v + w ) , ce que l’on peut simplement noter u + v + w . Exercice 5 : On considère le triangle ABC ci – contre. 1) a) Construire le point D tel que ሬሬሬሬሬԦ ‫ = ܦܣ‬ሬሬሬሬሬԦ

notée g ◦ f par : Pour tout x dans X, (g ◦ f )(x) = g(f (x)). (On applique f à x, puis g à f (x)). Exemple : f : x → x2 + 1 Df = IR ; g : x → cos(x) Df = IR. g ◦ f (x) = cos(x2 + 1). Remarque : La composition de fonctions n’est en général pas commutative : f ◦ g = g ◦ f. Par exemple, dans le cas précédent, on a (f ◦ g)(x) = cos2 (x) + 1. Serge Dumont Mathématiques 2015-2016 14 / 44 5 – Fonctions injectives, surjectives, bijectives, réciproques 5.1 – Fonctions injectives Définition 10 Une

3) (A + B)C = AC + BC Chapitre thechapter : Calcul matriciel 6 4) C(A + B) = CA + CB Pour vu que les produits qui gurent dans les expressions soient dénis. Remarque 1.2.1. : 1) La multiplication matricielle n'est pas en général commutative, c.à.d AB = BA. 2) La simplication n'est pas vraie en général, c.à.d pas, nécessairement A=O 3) Une matrice carrée AB = O n'entraîne B = O. ou A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I. Exemple 1

3) (A + B)C = AC + BC Chapitre thechapter : Calcul matriciel 6 4) C(A + B) = CA + CB Pour vu que les produits qui gurent dans les expressions soient dénis. Remarque 1.2.1. : 1) La multiplication matricielle n'est pas en général commutative, c.à.d AB = BA. 2) La simplication n'est pas vraie en général, c.à.d pas, nécessairement A=O 3) Une matrice carrée AB = O n'entraîne B = O. ou A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I. Exemple 1

toujours dans le sens trigonometrique. On replace la boule dans l'urne avant d'e ectuer le tirage suivant. Au depart le jeton se trouve en A. Soit Xn la variable aleatoire representant la position du jeton a l'issue du n-ieme tirage. Determiner la loi de Xn en fonction de n. p et q = 1 ; p. On tire une boule de l'urne. Si la boule tiree est de couleur une urne contient des boules rouges et blanches en proportions respectives Solution : 1. a) Un calcul elementaire donne J 3 = I . On peut