Loi de composition interne

2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain

finie et a est une C.L. des (ei)i∈. On a donc, pour tout a∈S (A), si a = (an)n∈, alors a = a0e0 + a1e1 + a2e2 +....+ anen +...  ¨ a k e k . k=0 +∞ Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. Soient a,b∈S 0 (A). On définit une loi × sur S 0 (A) par : Si a = (a0, a1, a2,......., ap,........) et b = (b0, b1, b2,......., bp,........) , alors a × b = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b0,......., cp,........) F. Wlazinski où cp = ¨ a k b n−k = k=0 p i+j=n ¨ ab i

par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab c) Montrer que τa est bijective et déterminer son application réciproque. d) En déduire que T = {τa | a ∈ G} muni du produit de composition est un groupe. Exercice 4 [ 02221 ] [correction] Soit (G, ), (G , ) deux groupes et f : G → G un morphisme de groupes. a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe de (G , ). b) Montrer que pour tout sous-groupe H de G

suites finies de n termes réels : , ,…, , , ,…, Définition : On peut définir sur , une loi de composition interne, l'addition, notée + par : , ,…, , ,…, , ,…, Propriétés de l'addition : Elle est associative : , , , Elle est commutative : , , Elle a un élément neutre : 0 0,0, … ,0 , Tout élément X a un opposé noté , / ,…, 0 / 0 0 Définition : On peut aussi définir sur une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "." ou parfois sans signe, par : , . , ,…, , ,…

r´els e e ee e Corps des nombres r´els e Propri´t´. R est muni de la loi de composition interne   satisfaisant : e e • Associativit´ : dx, y, z, px   y q   z  x   py   z q e • 0 est ´l´ment neutre : dx, x   0  0   x  x ee • Tout r´el a un oppos´ : dx, hy p ¡xq t.q. x   y  y   x  0 e e • Commutativit´ : dx, y, x   y  y   x e On dit que pR,  q est un groupe commutatif. Propri´t´. R est aussi muni de la loi de composition interne ¢ aussi not´e ¤ ou [absence de signe] satisfaisant : e e e • Associativit´

format (n, p) × format (p, q) = format (n, q) 3 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 REM 1 : il est pratique de présenter le produit de 2 matrices sous la forme : F1 REM 2 : le produit matriciel n’est donc pas une loi de composition interne dans l’ensemble de toutes les matrices, ni même dans Mnp (K) avec n = p ; par contre, c’en est une dans l ensemble des matrices carrées d’ordre n Mn (K) . REM 3 : le produit matriciel n’est évidemment pas commutatif puisqu’un produit peut

si il est muni d'une l.c.i * (loi de composition interne) vérifiant les trois propriétés suivantes : · Existence d'un élément neutre e : "x Î G, e * x = x * e = x · Associativité de la loi * : "x, y, z Î G, (x * y) * z = x * (y * z) = x * y * z · Existence d'un symétrique pour tout x de E : "x Î G, $y Î G tel que x * y = y * x = e Si de plus la l.c.i. est commutative : "x, y Î G, x * y = y * x Alors le groupe (G, *) est dit commutatif (ou Abélien). Dans ce cas la loi * sera souvent notée +, le neutre

D´finition 1.1 Un espace vectoriel sur R est un triplet (E, +, .) o` e u – E est un ensemble, – “+” une loi de composition interne : E × E → E telle que (´l´ment neutre) ∃0E ∈ E avec ∀x ∈ E, x + 0E = 0E + x = x ee (oppos´) e ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E avec x + (−x) = (−x) + x = 0E e ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x + (y + z) = (x + y) + z (associativit´) (commutativit´) ∀(x, y) ∈ E 2 , x + y = y + x e – “.” est une loi externe : R × E → E telle que : ∀(λ, µ) ∈ R2 , ∀(x, y) ∈ E2, i) 1.x = x ii) λ.(x + y) = λ.x + λ.y iii)

composantes ( x, y, z ) ∈ R 3 s’écrirait : V = x e1 + y e2 + z e3 → → → → Les quantités réelles x, y, z sont appelées composantes du vecteur V dans la base R 3 . ⎧x ⎪ La notation adoptée est la suivante : V = ⎨ y ⎪ R0 ⎩ z → → 5. Loi de composition interne : Somme vectorielle → → → La somme de deux vecteurs V1 et V2 est un vecteur W tel que : ∀ V1 , V2 ∈ R 3 → → nous avons W = V1 + V2 ∈ R 3 → → → → → → → → Soit (a1 , a 2 , a3 ) les composantes du vecteur V1 d’où : V1

Soit K un corps commutatif d’´l´ment unit´ not´ 1. On nomme espace vectoriel sur K, un e ee e e ensemble E muni d’une loi de composition interne (+) conf´rant ` E la structure de groupe commutatif ou e a ab´lien, et d’une seconde loi dite externe, application de E×K dans E not´e (×), aussi appel´e multiplication, e e e faisant intervenir les ´l´ments de K, appel´s scalaires. Cette loi externe doit v´rifier les axiomes suivants, ee e e x, y ∈ E, a, b ∈ K d´signant des scalaires : e 1. a × (x + y) = a