Loi de composition interne

GROUPES ET ESPACES VECTORIELS GROUPES Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne) 2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative) 3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre) 4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x

Définition 1.1. On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K, tout ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une loi de composition interne (appelée addition et notée « + » ) et d’une loi de composition externe (appelée multiplicateur par un scalaire et notée « . ») vérifiant : 1. L’addition est une loi de composition interne sur E : ∀(u, v) ∈ E2 , u + v existe et : u + v ∈ E. 2. L’addition est associative, c’est à dire : ∀(u, v, w) ∈ E3 , (u + v) + w = u + (v + w) =

2. Propriétés des ensembles de nombres a. Loi de composition interne On appelle loi de composition interne toute application de E×E dans E. Une loi de composition interne dans un ensemble E, peut être schématisée de la façon suivante : ×x y× x@y × E Loi de composition quelconque « @ » « @ » est en quelque sorte, ici, le symbole de la loi de composition (comme le sont ailleurs +, ou ÷, par exemple). Une loi de composition interne « @ » est donc définie par : T : E×E  (x

Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corpsK, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous). Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires. Définitions Soit K un corps1,2, comme le corps commutatifQ des rationnels, celui, R, des réels3

verbale à partir de 10000. Opérations L'addition (sur N, Z, D, Q, R) une loi de composition interne (∀ a et b ϵ E, a+b ϵ E), est commutative (a+b=b+a), associative (a+b+c=a+b+c), dispose d'un élément neutre : 0 (a+0=0+a=a), est compatible avec la relation d'ordre (si cϵN, a≤b→a+c≤b+c), chaque élément dispose d'un symétrique (a+as=as+a=0, pas sur N). La multiplication (sur N, Z, D, Q, R) est une loi de composition interne, est commutative, associative, dispose d'une élément neutre (1), est distributive

2 Table des mati`res e Structures usuelles 1 Les nombres complexes 1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 D´finition d’une loi ⊕ dans R2 . . . . . . . . . . . e 1.1.3 D´finition d’une loi ∗ dans R2 . . . . . . . . . . . . e 1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propri´t´s de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2.1 Propri´t´s alg´briques . . . . . . . . . .

Capes Interne Mathématiques TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Algèbre linéaire 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . 1.1.4 Combinaisons linéaires de vecteurs 1.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . 1.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . 1.2.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 1

polynˆmes sur R o Institut SupBiotech’ de Paris Villejuif, le 1.2.10 2/5 Karim L. Trabelsi (ISBP) Espace vectoriel Loi de composition externe Soient K et E deux ensembles non vides. Une loi externe sur E de domaine d’op´rateur K est une application de K × E dans E. e D´finition - Espace vectoriel e Soit E un ensemble non vide muni d’une loi interne ∗ et d’une loi externe • ` domaine a d’op´rateur K. E est un K-espace vectoriel, si e 1 (E, ∗) est un groupe commutatif; 2 (K, +,

∈ K : λ · (µ · x) = (λµ) · x. Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E, les éléments de K sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la loi · multiplication par un scalaire. Le corps K est qualifié de corps de base pour E. Les mathématiciens

algébrique particulière. Les éléments de E sont appelés vecteurs. Cette structure algébrique est due essentiellement aux deux propriétés suivantes : ∀α∈IR ; ∀u∈E scalaire vecteur on a : αu∈E u+v∈E Loi de composition externe ∀u∈E ; ∀v∈E on a : Loi de composition interne Exemple fondamental Considérons l’ensemble suivant : E = IRn IR = (x1,x2,...,xn)/ x1,x2,...,xn∈IR n           12 21/10/2010 n=2: IR = (x1,x2)/ x1,x2∈IR Ensemble des couples