Loi du χ²

. . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux ` n degr´s de libert´ (χ2 ) a e e n 1.5.3 La loi de Student ` n degr´s de libert´ (Tn ) . a e e 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . .

Rappels de probabilité C.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . C.2 Vecteurs aléatoires gaussiens . . . . . . . . C.3 Tables des lois usuelles . . . . . . . . . . . C.3.1 Loi Normale X ∼ N (0, 1) . . . . . C.3.2 Loi de Student X ∼ Tν . . . . . . . C.3.3 Loi du Khi-deux à ν ddl X ∼ χ2 . ν ν1 C.3.4 Loi de Fisher à ν1 , ν2 ddl X ∼ Fν2 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aléatoire recensement exhaustif loi statistique caractérisée par: Moyenne : m Variance : σ² Proportion : P estimation X i ≡ X ∀i sondage loi statistique caractérisée par: Moyenne : X Variance : S² Proportion : F Intervalles de confiance N individus X : variable aléatoire On distingue deux cas : • On connaît la population c’est à dire sa loi avec ses caractéristiques (moyenne, variance) et on cherche des renseignements sur un échantillon de n individus (loi, moyenne, variance, avec quels

Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée par Student µ = µ0 Loi normale et n tα rejet de H0 Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée par l’écart réduit µ = µ0 N’importe quelle loi et n ≥ 30 Loi normale centréeréduite t obs = t obs > tα rejet de H0 ou p-value < α rejet de H0 Echantillons indépendants Comparaison de 2 moyennes observées par l’écart réduit µ1 = µ 2 n1, n 2 ≥ 30 Loi normale centrée réduite t obs = m1 − m 2 − 0 t obs > tα

NoirJauneNoir théoriqueJaune théoriqueχ² noirχ² jaune1367,3405,67386,5386,50,950,952188205196,5196,50,370,373406,3443,674254250,820,814341397,67369,35369,352,182,185413330.67371,85371,854,554,556307,67317,67312,7312,70,080,08χ² noir moyen = 1,49 χ² jaune moyen = 1,49 χ² moyen total = 2,98 Croisement 3 -&gt; DihybridismePhénotype

générales : Distribution de fréquences, proportions. Test χ 2 d’ajustement. 2 Table de distribution des χ . Les vacances de Pâques approchent… c’est l’occasion de revoir tous les TP en travaillant en parallèle avec votre cours théorique. Attention : les exercices supplémentaires font partie de la matière d’examen. Voir cours théorique, chapitre 5. Rappel : Un test couramment utilisé en inférence statistique est le test khi-carré ( χ 2 ). Il est utilisé lorsqu’on s’intéresse à des données qui

OU THEORIQUE CONCLUSION INTERPRETATION Estimation de la variance d'un échantillon ( ∑ xi ) ²  1  s² =  ∑ xi ² −  n −1  n    Test bilatéral Effectifs calculés ≥ 30 Test unilatéral droite Test unilatéral gauche - X suit une loi normale ou une autre loi - Variance connue ou non H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 Conclusion : sur une différence ou une inégalité (à droite ou à gauche) significative ou non. Rejet de H0 ou non. Interprétation : se reporter

Louis XIV  Χ Carte: « L’Europe politique l’époque de Louis XIV » (doc 8p.202)  (La plupart des Etats européens au XVIIe-XVIIIe siècle sont des monarchies absolues, selon le modèle de la monarchie absolue de Louis XIV ( Le royaume Royaume-Uni présente une situation particulière : monarchie limitée par un parlement (= monarchie parlementaire) Χ voir Powerpoint : diapositive 1 B. Comparaison en images de deux systèmes de gouvernement Comparaison de deux images : Χ Portrait de

2 2.1. La statistique du χ …………………………………………..……………………………………….2 2.2. Les conditions d’application…………………………….……………………………………….3 2.3. Les degrés de liberté…………………………………………..…………………………………...3 2 3. Test du χ2 d'ajustement…….…………………………………………..……….…....4 3.1. Principe du test…………………………………………..……………………………………………...4 3.2. Application et décision…………………………………………..…………………………….…..4 3.3. Ajustements à différentes lois de probabilité connues………………..….6 3.3.1. Ajustement à une loi binomiale …………..…………….……………………

construire une « fourchette de valeurs numériques permettant de situer » θ avec une probabilité 1 − α 1 − α = Pr ob[θ1 < θ < θ 2 ] La démarche comprend deux étapes : • avant le tirage d’un échantillon de taille n, un estimateur θˆ a été choisi et la loi de • après tirage, la valeur particulière t de θˆ calculée à partir des données de l’échantillon permet de déterminer les bornes g1( t ) et g2 ( t ) de l’intervalle de confiance recherché. [ ] probabilité de θˆ permet de construire un intervalle