Mantisse

e UMLV © log * int / = < sqrt etc. :R x R → R :R→ R : R x R → Booléens : R x R→ R Axiomes corps ordonné x x (y + z) = x x y + x x z etc. 78 Implémentation (standard IEEE) x = ( -1 )s . 2 signe E - 127 . UMLV © 1,F mantisse caractéristique 8 9 10 S 012 E 0,8 = (-1)0 . 2 126-127 F 31 . 1,10011001100 … 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0,75 = (-1)0 . 2 126-127 . 1,100 … 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

pas être garantie dans l’ordinateur. Chaque langage de programmation impose des contraintes aux nombres. En Delphi un nombre de type real est représenté par un nombre un virgule flottante (« floating point »). C’est une notation scientifique ou la mantisse peut avoir jusqu’à 15 chiffres décimaux significatifs et l’exposant est compris entre –324 et +308. Ces bornes sont assez grandes pour garantir le bon fonctionnement de presque tout programme raisonnable. Le type boolean qui admet seulement les deux

Elle est formée de trois éléments ; la mantisse (nombre fractionnaire) sur 23 bits, l'exposant (décalé de la valeur 127) sur 8 bits et le bit de signe (S  1 pour un nombre négatif) et sont répartis comme suit : r3 Rang 32 31 30 29 27 26 25 S Poids r1 r2 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 Exposant 24 23 22 13 r0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Mantisse 2-11 2-12 2-13 2-14 2-15 2-16 2-17 2-18

deux parties : e e – la mantisse (ici 6, 02252 et 6, 625) ; – la partie exposant (23 et −34, le 10 est ici obligatoire car c’est la base choisie pour ´crire la mantisse e et l’exposant). On dit que la repr´sentation est normalis´e quand la mantisse est de la forme1 : e e c0 , c1 c2 c2 c3 . . . avec c0 = 0 Remarques : 1. Tout nombre r´el (sauf z´ro) peut s’´crire avec cette notation en virgule flottante normalis´e avec e e e e en g´n´ral un nombre de chiffres infini pour la mantisse (r´sultat provenant de

approchée. La notation la plus utilisée est la représentation avec virgule ottante : si x est un nombre réel, on pose x ±m · bp , où b est la base de numération, m la mantisse, et p l'exposant. (Les calculs sont généralement eectués en base b = 2, les résultats achés sont traduits en base 10.) La mantisse m est un nombre écrit avec virgule xe et possédant un nombre maximum N de chires signicatifs (imposé par la mémoire de l'ordinateur) : N ak b−k , m = 0, a1 a2 . . . aN

deux lignes permet de voir en même temps la formule et le résultat. • La ligne supérieure montre la formule du calcul. • La ligne inférieure montre le résultat du calcul. Un séparateur apparaît tous les trois chiffres lorsque la partie entière de la mantisse a plus de trois chiffres. Informations préliminaires k Modes Avant d’effectuer un calcul, il faut accéder au mode approprié, comme indiqué dans le tableau suivant. Pour effectuer ce type de calcul: Calculs arithmétiques élémentaires Ecart-type

représentable par la machine, s'eectuent exactement. I.5.2 Représentation des réels ou nombres ottants Un nombre ottant s'écrit sous la forme X = a.bn où a est la mantisse, b la base et n l'exposant. Par exemple, la représentation de π avec 10 caractères est : +0.314159 10+1 . Les 10 caractères sont répartis selon : 1 pour le signe, 6 pour la mantisse, 3 pour l'exposant dont 1 pour son signe. I.6 Notion de stabilité 3 La représentation standard des réels choisie par les principaux constructeurs d'ordinateur

second est le mot de poids fort. Nous nous servons uniquement du premier mot car le second mot n’ajoute que des précisions inutiles (de 2-8 à 2-23). Le mot de données se décompose de la façon suivante : - 1 bit de signe - 8 bits d’exposant - 7 bits de mantisse s e m La valeur de l’information reçue est : V = ( −1) × ( −1)s × m × 2e avec : • s = b15 • m = 1 + b 6 × 2-1 + b5 × 2-2 + b 4 × 2-3 + b3 × 2-4 + b2 × 2-5 + b1 × 2-6 + b0 × 2-7 • e = b14 × 27 + b13 × 26 + b12 × 25 + b11 × 24 + b10 × 23 + b 9 ×

la virgule flottante normalisée. On écrit le nombre sous la forme ``signe  0,mantisse  Bexposant''. En général, B=2. Le digit de poids fort de la mantisse n'est jamais nul. Un flottant est donc représenté par une suite de bits dont le bit de poids fort correspond au signe du nombre. Le champ du milieu correspond à la représentation binaire de l'exposant alors que les bits de poids faible servent à représenter la mantisse. 1.6  Les constantes Une constante est une valeur qui apparaît littéralement

représentés de manière approchée grâce au type float. – float – double – long double Notation scientifique, flottant, virgule flottante : M * Be exemple : 124.765 ----> 1.24756 * 10² un réel peut être représenté par une mantisse M et un exposant e; dans notre exemple, la mantisse est 1.24756 et l’exposant est 2. La base dépend de la machine et est en général 2 ou 16. Attention La représentation des réels par les flottants n'est qu'une approximation. ©Xavier Jeannin 2000-2005 29 Type de base