Marche aléatoire

des résultats des sondages. Dans la théorie, l’échantillon doit être aléatoire et simple pour garantir l’application des lois de probabilité. Néanmoins, les réalités de la pratique font qu’il est parfois raisonné, c’est-à-dire basé sur des critères de choix qui tiennent compte des réalités du terrain. Même s’il est raisonné, beaucoup de recherches empiriques ont révélé que les échantillons qui sont à la fois raisonnés, aléatoires et simples fournissent des résultats qui sont de qualité scientifique

à10−2 près. 5 points Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0,1. 1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec

(X = 2) E2 E3 (X = 2) 0, 95 E3 (X = 1) 0, 8 0, 1 E2 0, 05 E3 (X = 2) 0, 9 E1 0, 95 0, 05 E3 (X = 1) E2 E3 (X = 1) 0, 95 1. Représentons un arbre : (voir ci-dessus) E3 (X = 0) X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. a. X peut prendre les valeurs 0, 1 , 2 ou 3. b. (X = 2) = (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ) ∪ (E1 ∩ E2 ∩ E3 ). C’est une réunion d’événements incompatibles, donc : p(X

variable aléatoire X définie sur un certain espace probabilisé (Ω, A, P) et admettant la fonction f pour densité. 2) Déterminer la fonction de répartition F de X. 3) Montrer que X a une espérance et que celle-ci vaut 1 . 2 4) a) Déterminer E((X – 1) 2). 3 – ln 2. 4 5) On appelle variable indicatrice d’un événement A, la variable de Bernoulli qui vaut 1 si A est réalisé et 0 sinon. 1 On considère maintenant la variable aléatoire Y, indicatrice de l’événement (X ≤ ) et la 2 1 variable aléatoire Z,

On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l'exercice sont indépendantes. 1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. a. Démontrer que: p(X = -1) = ( n+lO 2)(n+9 ) . 2 b. Calculer, en fonction de n, la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X. c. Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut : E(X) = -6n -14n+360

positif. Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. S'il ne gagne pas mais qu'il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise. S'il ne gagne pas et qu'il n'a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Exprimer l'espérance mathématique de X en fonction de m. c)On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle. Déterminer

1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d’Économie & Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités Chapitre VI : Variables aléatoires à densité 1 Généralités 1.1 Introduction • On considère l’épreuve aléatoire suivante : « on tire un nombre réel quelconque au hasard dans [0, 1] » . On suppose les tirages équiprobables. √ • Quelle est la probabilité que ce nombre tiré soit égal à 1 ? 0, 65 ? 2 ? 17 ? On note X la V.A.R. égale

répétition ?? Sans répétition ?? Possibilité de répétition La répétition : ? ? ?? Vocabulaire :  Une expérience aléatoire est une expérience qui dépend du hasard : le résultat ne peut donc être déterminé a priori. l’expérience. On le note ? (appelé aussi l’univers des cas possibles).  L’univers de l’expérience aléatoire est l’ensemble des issues (ou résultats) possibles de  Un évènement est une partie de Ω. L’ensemble vide est appelé évènement impossible.

seulement seulement Blanc D C4 seulement 2 E C1 et C3 seulement F C1 et C4 seulement G C2 et C3 seulement H C2 , C3 et C4 seulement 2009-03-09 11 Contexte 5 [2 points] On décrit trois paires de variables aléatoires, X et Y. Dites laquelle ou lesquelles des paires est (sont) indépendante(s) [Inscrire l’une des lettres A à H] : P1 Vous tirez au hasard une maison dans chacun des deux quartiers, A et B (les deux plus riches de la ville.) X: La valeur de

choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l’échantillon choisi. a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10−3