Matrice aléatoire

Variables n : un nombre entier naturel Traitement Affecter à n la valeur 0 Tant que 1, 9n < 100 Affecter à n la valeur n + 1 Fin Tant que Sortie Afficher n La valeur affichée en sortie de cet algorithme est : a. 7,1 b. 7,6 c. 8 d. 17 4. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 5] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous. On a alors : a. P (X 3) = P (X < 3) 1 b. P (1 X 4) = 3 5 c. E (X ) = 2 1 d. E (X ) = 5 1 5 0 1 2 3 4 5 6 4 A. P. M. E. P. Baccalauréat

deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5

bus ? Partie B : le vélo On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d’espérance µ = 17 et d’écart-type σ = 1,2. 1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée. 2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu’il

Aléatoire IQ HN UE EC LY T à la théorie Introduction PO LE et O calcul des probabilités É C au U NIQ E Y POL LE ÉCO H Sylvie Méléard TEC ÉCO LE TE O LY P CH U NIQ E •L ÉDITION ES S D E L'É C O LE P O LY T E C H NIQ E U Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine universitaire, le développement massif du « photocopillage ». Cette pratique qui s’est généralisée

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Variables et vecteurs aléatoires …nies 1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . 2 Loi d’ une var …nie . . . . . . . . . . 3 Moments d’ une var …nie . . . . . . . 4 Loi d’ vecteur aléatoires …nis . . . un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

au point x) si X est continue (resp. si X est discrète). • On dispose d’un sondage de taille n de la population (l’observation de X sur ( X 1 ,..., X n ) n individus) , noté( x1 ,..., xn ) . On note l’échantillon aléatoire associé à ce sondage (il s’agit d’un vecteur aléatoire dont une réalisation particulière est ( x1 ,..., xn ) . A-1 Définition Estimer le paramètre θ consiste à donner une valeur approchée à ce paramètre à partir d’un sondage de la population. Ex : P X, θ=E(X)? ( x1

10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer

. 1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Équations de type z 2 = α . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de type az 2 + bz + c = 0, a = 0 2 Calcul matriciel 2.1 Matrice à coefficients dans K . . . . 2.2 Somme de matrices . . . . . . . . . 2.3 Multiplication par un élément de K 2.4 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 8 10 10 11 15 15 16 17 18 21 21 21 22 25 26 26 27 27

alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X

valeurs propres donn´es. e e Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs