Matrice de permutation

réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1

cela nous aurons besoin d’introduire quelques dé…nitions et notations. Notation : On note l’ensemble des bijections de [[1; n]] (où n 2 N ) dans lui même (appelées ensemble des Permutations de [[1; n]]) par Sn . 1 Exemples : 1/ Pour n = 1, S1 = fIdg. 2/ Pour n 2, décrire S2 et S3 : 3/ Parmi les permutations de Sn (n 2), on désigne celle qui laisse tous les éléments …xes sauf deux, par qu’on appelle transposition: En d’autres termes, est dé…nie par : [ (i) = j; (j) = i; pour i; j 2 [[1;

optimiser devra alors bien sûr tenir compte de la violation éventuelle de certaines contraintes. Pour illustrer ces propos, considérons le problème du job shop. Il est possible de coder une solution à l’ aide de m permutations, où m correspond au nombre de machines, et la ième permutation donne l’ ordre des tâches devant être exécutées sur la ième machine. Par exemple, supposons que 3 pièces P1, P2, P3 doivent être usinées sur les machines M1, M2 et M3. Supposons que la gamme opératoire de P1 est (M1

donné ne dépend que de l’entrée à cet instant • Canal discret sans mémoire stationnaire On a: ∀k ≥ 1, P(Y k X k ) = P(Y X ) La relation entrée/sortie est indépendante du temps. Ce type de canal est caractérisé par une matrice stochastique de dimension lXl x lYl appelée matrice de transition. L’élément i,j donnant la probabilité conditionnelle P(Y j X i) MFEZE Michel DEA LETS-GETENSP UYI - Octobre 2005 7 I.2- Capacité en information du canal sans mémoire C = max I ( X ; Y ) • Elle

. . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  

écrit dans une matrice. - La clé est la matrice. - La technique de transposition de base consiste à lire la matrice en colonne. Exemple (6,5): M E E E R S T A E N R S S S E A S P A C G R T O Le message crypté est donc: MEERSE TAESS NRSEAS AC P GRTO Gérard FLORIN CNAM-Cedric 14 Chiffre à transposition avec chiffre à substitution simple. - On combine la transposition avec une substitution et on réarrange l'ordre des colonnes selon une permutation qui est ajoutée à la matrice pour former

Support du cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élaboré par Prof. Eva Bayer Fluckiger Dr. Philippe Chabloz Septembre 2009 2 Table des matières 1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode

d’invariance de la famille des matrices de Hadamard (voir par ex. [12]) par transformations orthogonales. Plus précisemment, les approches proposées dans [4] et [3] exploitent le fait que si on stocke les vecteurs représentants les amplitudes des chips d’une famille orthogonale de codes CDMA dans une matrice, par exemple en concaténant les codes colonne par colonne dans la matrice, alors toute permutation des lignes de cette matrice conduira à une nouvelle matrice dont les colonnes définiront encore

· · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) est une forme n-linéaire alternée de E 2. En déduire que pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) = Tr(u)detB (x1, x2, · · · , xn ) I.4 Déterminant d'une matrice