Matrice inversible

ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015 Feuille d’exercices no 6 `mes et matrices Syste Exercice 1. R´esoudre les syst`emes suivants :   x−y+z =3 (a) x + 2y + 1z = 7  x + y + 2z = 1   −2x + 5y + 4z = −17 x − 3y − z = 7 (b)  3x + y − 3z = 1   3x + y − 2z = −5 (c) 2x − y − 4z = −11  x+y+z =2 * Exercice 2.   x − 2y + 3z = 2 x + 3y − 2z = 5 Soit a un nombre r´eel, on ´etudie le syst`eme suivant :  2x − y + az = 1 D´eterminer selon les valeurs de a le nombre de solutions du syst`eme. Exercice

P  P. Pour tout u ∈L (E) et pour toute base B = (e1,e2, · · · ,en) de E det(u) = detB ( u(e1),u(e2), · · · ,u(en) ) P. Pour tout u, v ∈L (E), det(u ◦ v) = det(u)det(v) P. Pour tout u ∈L (E), u est inversible ⇐⇒ det(u) ̸= 0 et dans ce cas det(u−1) = 1 det(u) .I. D   § . À          E   '    . Soit u ∈L (E). 1. Montrer que l'application g dé nie pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En par g (x1, x2, · · · , xn ) = n∑

2 1 canoniques et x = (1, 2, 3), alors par la matrice M = 6 Si f est l'application linéaire représentée a f est une application de R3 dans R2 b f (x) est le vecteur (3, 2, 1) c f (x) est le vecteur (14, 10) d f (x) n'est pas déni, parce que M n'a que deux lignes alors que x a trois composantes. d génératrice d'un plan de R3 . colonnes. Alors ses vecteurs-colonne seulement si A est surjective matrice est inversible 3 Soit A une matrice à m lignes et n a forment une famille libre

donnés doivent satisfaire à l’équation de la courbe, nous obtenons le système d’équations suivant : ax2 + bx1 + c = y1 1 ax2 + bx2 + c = y2 2 ax2 + bx3 + c = y3 3 Ce système d’équations ayant les variables a, b, et c, peut être traduit sous forme de matrice augmentée, qui correspondra bel et bien à celui présenté dans l’exercice. 8. Si le système est cohérent, nous pouvons soustraire les deux premières equations de la dernière, par exemple. Le résultat obtenu sera alors c – a – b = 0 ou c = a + b. Le

linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées III- Opérations sur les matrices IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système de vecteurs VI- Matrice d’une application linéaire VII- Changement de base Chapitre 4 : Calcul de déterminants I- Calcul d’un déterminant d’ordre n II- Propriétés des déterminants III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application

dans cette thèse concerne d’une part, le problème de séparation aveugle de sources et d’autre part, celui d’estimation de paramètres en aveugle. Pour ces deux problèmes, une nouvelle classe de modèles de mélanges est étudiée, celle des mélanges inversibles, décrits par des équations différentielles. Pour le problème de séparation aveugle de source, nous définissons la notion de séparabilité selon un modèle d’entrées fixé, puis proposons des méthodes de séparation basées sur des statistiques des signaux

Sommaire 1 Divisibilité dans Z I 1. 2. II III 1. 2. 3. 2 II 1. 2. I 1. 2. II 5 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dp = . .. .. . 0 bn−p+1,2 . . . Notons ai,j = bi+1,j+1 = p+i+j−1 p+i a1,n−p+1 b2,n−p+1 .. . = bn−p+1,n−p+1 b2,2 .. . ... bn−p+1,2 . . . b2,n−p+1 .. . . bn−p+1,n−p+1 , ce sont les coefficients de la matrice Ap+1 (1 i, j n−p). Ainsi on obtient la relation de récurrence dp = dp+1 , d’où l’on déduit que dp = 1 pour tout p ∈ 0, n . 2. a. D0 = 1, ∆0 = 1, D1 = 1 1 = 1, 1 2 1 1 ∆1 = = 1, 1 2 1 1 2 D2 = 1 2 6 = 4. 2 6 24 1

. . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . . . 1.2.2 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dépendance et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Exercices

Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Matrices Définitions Soit K un sous-corps de C. Une matrice à coefficients dans K est notée : A = (aij ) 1≤i≤p où p représente le nombre 1≤j≤q de lignes et q le nombre de colonnes. On écrit A ∈ Mpq (K). Soient A et B deux matrices de Mnp (K). On définit la matrice C = A + B où C = (cij ) avec cij = aij + bij , la matrice A = λA où A = (aij ) q avec aij = λaij . Si A ∈ Mnp (K) et B ∈ Mpq (K), on définit la matrice P = AB par pij = k=1 aik bkj et P ∈ Mnq (K)