Matrice inversible

pour ( par : 1. ( Malgré les apparences, les deux définitions ci-dessus sont rigoureusement les mêmes. Lorsque I = {1}, on retrouve ”moralement” K I = [|1, n|], on retrouve ”moralement” Kn I = [|1, n|] × [|1, p|] on retrouve l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes I = N, on retrouve l’ensemble des suites d’éléments de K I est une partie de K = R, on retrouve l’ensemble des fonctions de R dans R d’ensemble de définition I. 1.3. Produit d’espaces vectoriels. Proposition : le produit

A la matrice de M3(R) donnée par : A = 2 1 −2 0 3 0 1 −1 5  (a) Calculer A2 − 7A. (b) En déduire un polynôme annulateur de la matrice A. (c) La matrice A est-elle inversible ? 1Année 2021-2022 – ECG1 & ECG2 – Lycée Janson de Sailly DS 11 – 2. Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et f l’endomorphisme de R3 dont la matrice représentative dans la base B est la matrice : B =  1 −1 −1 −3 3 −3 −1 1 1  (a) Déterminer le noyau de f . (b) Déterminer le rang de la matrice B − 2I3

nécessaire, mais pas suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger. (§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas nécessaire, qu’elle soit symétrique. À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans l’ensemble de référence E, si on a A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors A ∪ B = {x | P

)) (x) = f (−x) est une symétrie de base l’espace des fonctions ............ et de direction l’espace des fonctions ........... - l’application T de Mn (K) dans lui-même qui à toute matrice fait correspondre sa transposée est une symétrie de base l’espace des matrices ........... et de direction l’espace des matrices .................. E1 II) FORMES LINÉAIRES. DEF : E K−espace vectoriel ; une forme linéaire sur E est une application linéaire de E vers K. L’ensemble des formes linéaires sur E est

que c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii xi 1 1 21 31 40 40 62 71 81 81 87 98 103 103 104 112 112 139 153 Chapitre 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . .

[correction] Soit G le sous-groupe de GL2 (R) engendré par les deux matrices S et T suivantes : S= −1 0 0 1 1 ,T =√ 2 3 −1 1 1 1 Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2 (R) contenant S et T . a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matrices S, T . Expliciter les éléments du groupe R engendré par la matrice R = ST et préciser le cardinal de ce sous-groupe de G. Quelles sont les matrices SR et R7 S ? b) Montrer que tout élément de G est soit une puissance

. . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

suppl´mentaires dans E et non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2 ) et u3 ∈ L(E2 , E1 ). Alg`bre e On note u l’endomorphisme de E tel que : ∀ x ∈ E1 , u(x) = u1 (x) ∀ x ∈ E2 , u(x) = u2 (x) + u3 (x) 49 1. Donner la forme de la matrice de u dans une base de E obtenue en mettant bout ` bout une base de E1 et une base de E2 . a 2. a) Soit (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 et λ ∈ R. On pose x = x1 + x2 . Montrer que : u1 (x1 ) + u3 (x2 ) = λx1 u(x) = λx ⇐⇒ u2 (x2 ) = λx2 b) En d´duire que λ est