Matrice inversible

3 Matrices 3.1 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.1.2 Op´rations lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Multiplication de matrices et syst`mes

vectoriel des matrices r´ elles a e ` lignes et colonne. lignes et le -espace vectoriel des matrices carr´ es r´ elles a e e ` l’ensemble des matrices inversibles de . la matrice transpos´ e d’une matrice e . . la matrice unit´ de e l’ensemble des matrices sym´ triques de e . , c’est-` -dire l’ensemble des a l’ensemble des matrices sym´ triques positives de e matrices de v´ rifiant : e l’ensemble des matrices sym´ triques d´ finies positives de e e semble des matrices de v´

MATRICES Rang 1. Pour chacune des matrices A suivantes, d´terminer d’abord son rang rA . Trouver ensuite e une matrice B extraite de A carr´e (rA ,rA ) et de rang exactement rA . e     1 2 3 1 1 4 5 6 2 −4   2 −1 a) b) c)  7 8 9 −3 6 −4 5 0 1 0       0 1 0 1 1 −1 0 1 3 3 1 0 1 0  5 d)  e) 1 0 1 f ) −1 1 0 1 0 1 2 1 3 1 −3 −9 1 0 1 0     1 1 0 1 1 1 3 −2 2 0 g)  0 1 1 2 2 h) 0 1 −1 1 2 −1 0 1 1 3 1 2 −3 4 1       0 1 0 1 1 1 1 1 −1 1 −2 0 1 1 2 3 −1

externe de 17,6 unités de biens. D'où : y = (0,1x + 0,12y + 0,08z) + 17,6. 2) Écrire un système de trois équations traduisant ce tableau d'échanges inter-industriels. { x=0,2 x+13,2 y=0,1 x+0,12 y+0,08 z+17,6 z=0,05 x+0,08 y+0,12 z+1,8 3) Déterminer la matrice carrée A telle que A×P + D = P où P = ( x y z) et D = ( 13,2 17,6 1,8 ) En posant A = ( 0,2 0 0 0 ,1 0,12 0,08 0,05 0,08 0,12) , on a : ( 0,2 0 0 0 ,1 0,12 0,08 0,05 0,08 0,12) × ( x y z) + ( 13,2 17,6 1,8 ) = ( 0,2 x+13,2 0,1 x+0,12 y+0,08 z+17

vectoriel. Montrer que n est pair et qu'il existe une base (e1; : : :; en) ; (n = 2p) du R-espace vectoriel E tel que : 8j 2 Np ; u(ej ) = ej +p . Determiner la dimension de E sur C . 0 ?1 0 1 1 0 ?1 1 0 1 11. Soient A = @ 1 ?1 0 A et B = @ 0 ?1 1 A deux matrice reelles. 0 1 ?1 1 0 ?1 Soit V = Vect(A; B ). Montrer que V est un corps isomorphe a C . 12. Soit P 2 K n X ]; deg P = n. Soient a0; : : :; an n + 1 scalaires deux a deux distincts. Montrer que la famille : (P (X + ai)i2Nn est une base de K n X ].

TABLE DES MATIERES Matrices 5.1 Matrices. R`gles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2 Matrice d’une application lin´aire dans des bases. . . . . . . . . . . . e p dans Kn associ´e canoniquement 5.3 Application lin´aire de K e e a ` une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Calcul des coordonn´es de l’image d’un vecteur de E. . . . . . . . . e 5.5 Op´rations lin´aires sur les applications lin´aires et les matrices. . . e e e 5.6 Composition

la sous-matrice construite sur 1 les colonnes (i1 , i2 , . . . , im ) est inversible. On dit alors que les m variables (xi1 , xi2 , . . . , xim ) sont les variables de base et que les n variables restantes sont les variables hors base. Ici, m = 3 et il y a 5 variables au total. Un base aura donc 3 variables et il y aura systématiquement 2 variables hors base. Donnons quelques exemples :   0 0 1 0 1. La famille {x2 , x4 , x5 } ne forme pas une base car la sous matrice associée

33 La puissance nième d’une matrice 2X2 La puissance nième d’une matrice (détails) ........................................................ 34 Le théorème de CALEY-HAMILTON (pour les matrices 2x2)......................... 35 Algorithme de calcul de la puissance nième ....................................................... 36 Suite numérique associée à la puissance nième .................................................. 37 La puissance nième d’une matrice (propriétés) ..........................

14 14 14 15 2 Calcul matriciel 2.1 Notion de matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Représentation matricielle d’un vecteur. . . . . . . . 2.1.3 Représentation matricielle d’une application linéaire. 2.2 Calcul matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lois de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Transposition et

2 0 0 1 2  , P = 1 1 1 0 1 1 0 1 0  , Q = 1 −1 0 0 0 1 0 1 −1  , D =  −1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 1  , I3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1  1. (a) on vérifie que PQ = I3 (b) PQ = I3 ⇒ A est inversible et P−1 = Q (c) on vérifei que AP = PD (d) AP = PD ⇒ A = PDP−1 , A est semblable à une matrice diagoanle , donc A est diagonalisable . 2. u = 1 0 0  , v = 1 1 1  , w = 1 1 0  On vérifie que Au = −1 2 u, Av = 1 2 v, Aw = w donc u, v et w sont des vecteurs propres de A associés respectivement