Matrice inversible

d’Euler et le petit th´eor`eme de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 33 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 L’anneau Z/nZ 2.1 Entiers modulo n . . . . . . . . . . . . 2.2 Addition et multiplication dans Z/nZ 2.3 Inversibles de Z/nZ . . . . . . . . . . 2.4 Application : r´esoudre une ´equation du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chiffrements anciens 3.1 Les d´ebuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Un peu de formalisme math´ematique

nécessaire, mais pas suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger. (§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas nécessaire, qu’elle soit symétrique. À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans l’ensemble de référence E, si on a A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors A ∪ B = {x | P (x)

et vocabulaire . . . . . . . . II Opérations élémentaires sur les lignes III Résolution d’un système linéaire . . . . IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Matrices I Matrices, opérations sur les matrices II Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . III Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . IV Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la trace d’une matrice M de Mn (R), t M sa transposée, M la matrice de ses cofacteurs, et l’on rappelle la formule M t M = det(M ) In . Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk .

morphismes d’anneaux 6.1.3 Groupe des éléments inversibles . . . . . 6.2 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 L’anneau des matrices 7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . 7.2 L’anneau des matrices . . . . . . 7.3 Le groupe des matrices inversibles 7.3.1 Définitions . . . . . . . . . 7.3.2 Inversion d’une matrice . . 7.4 Quelques applications . . . . . . . 7.4.1 Systèmes linéaires . . . . . 7.4.2 Applications linéaires . . . 7.4.3 Matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . . .

16/11/99. e UTILISATIONS DES MATRICES COMPAGNON Notations et d´finitions : e Dans tout le probl`me K d´signe R ou C et n est un entier naturel. e e Si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E, on note u0 = idE et ∀n ∈ N, un+1 = un ◦ u. On note Kn [X] la K-alg`bre des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, Mn (K) la K-alg`bre e o e e e a e des matrices carr´es de taille n ` coefficients dans K de matrice unit´ In et GLn (K) le groupe des e a e matrices inversibles de Mn (K) ; les ´l´ments de

1.3 Groupe des éléments inversibles . . . . . 6.2 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 49 49 50 7 L’anneau des matrices 7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . 7.2 L’anneau des matrices . . . . . . 7.3 Le groupe des matrices inversibles 7.3.1 Définitions . . . . . . . . . 7.3.2 Inversion d’une matrice . . 7.4 Quelques applications

∈ Mn (K) . Comme L (E) est de dimension n2 , on a dim (K [u]) ≤ n2 . On dénit de manière analogue la sous algèbre K [A] de Mn (K) engendrée par une matrice 435 436 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On vérie facilement que si A ∈ Mn (K) est la matrice de u ∈ L (E) dans une base B, alors P (A) est la matrice de P (u) dans B. de P (u) . Dans le cas où K est algébriquement clos, on a : Théorème 17.1 Soit P ∈ K [X] . Pour toute valeur propre λ ∈ Sp (u)

réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1

l’ensemble de matrices de la forme A =   am1 am2 . . . amn K = Z, Q, R. On ´crira pour simplifier A = (aij ) o` aij est l’´l´ment de A situ´ ` l’intersection de la ligne e u ee ea i et de la colonne j. La somme de deux matrices (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) et le produit d’une matrice A par un nombre α ∈ R d´fini par α(aij ) = (αaij ) v´rifient toutes les bonnes propri´t´s ce qui nous e e ee permet de dire Mm,n (R) a une structure de R espace vectoriel. Le produit de la matrice A ∈ Mm,n (R) par