Matrice inversible

Controle d’Algèbre II - 19 Mai 2014 S4/2013-2014 A rendre la copie par e-mail: ab1kacimi@gmail.com Exercice 1. Soit A la matrice du sytème linéraire d’odre 3:  = 0   2x − y + z x − 2y − z = −1 (S1 )   2x + y + 2z = 1 1.2 - Calculer det A et jusitifier que (S1 ) admet une solution unique. 1.3 - Résoudre (S1 ): a. Par la méthode du pivot de Gauss. b. En utilisant la méthode de Cramer. Exercice 2. Soient a, b, c ∈ R et considérons x, y, z:  x + 3y − z   3x − y + z (S2 )   −2x + y − 3z 2

vecteurs/translations, exponentielle complexe et module de C∗ vers C∗ . B) Anneaux et corps 1 - Anneaux : distributivité, définition, sous-anneaux. 2 - Éléments inversibles d’un anneau. Le groupe multiplicatif A∗ . Corps, sous-corps. Exemples : Z, R, C, F(X, K) 3 - L(E) avec GL(E), en dimension finie caractérisation des éléments inversibles. 4 - Règles de calcul dans un anneau ou un corps commutatif, ou encore si xy = y x : formule du binôme, formule x n −y n = (x −y )(x n−1 +· · ·+y n−1 ), somme d’une

sup´rieure, on d´duit que N est une norme d’alg`bre. e e e Si n ≥ 2, consid´rons la matrice X dont tous les coefficients valent 1 ; e elle v´rifie N∞ (X 2 ) = n > N∞ (X)2 = 1. e Si n = 1, N∞ co¨ ıncide avec N c’est-`-dire la fonction valeur absolue. a Ainsi, N∞ est une norme d’alg`bre uniquement lorsque n = 1. e 2. a) Le d´terminant s’exprimant a l’aide de sommes, diff´rences de produits des coefficients de la matrice, e ` e l’application det est continue sur Mn (R) . Par cons´quent, la suite (det(Xp ))p

dite clef principale (ou clef maîtresse), à l’aide d’un algorithme de dérivation (ou cadencement ou encore de diversification) de clef à propos duquel nous ne nous étendrons pas. À clef de tour k fixée, la fonction Tk : m → T (m, k) doit être inversible pour permettre le décodage. m est appelé le message clair du tour courant et T (m, k) le chiffré du tour courant. La fonction de tour est généralement constituée d’une série d’opérations mathématiques suffisam- ment complexes pour rendre inintelligible

Ñ Ø ÕÙ Ò× Þ ½ § ARIº¾¼ Ê ×ÓÙ Ö CCP MP – 2001 г ÕÙ Ø ÓÒ Ý ¾ Ò× Ü´Ü · ½µ´Ü · ¾µ´Ü · µº ¦ Ö ¹Ö ¿℄ § ARIº¾½ Ê ×ÓÙ Ö ¸ ´ Ò× ´ ¦ Ö ¹Ö¾ ½℄ ¿ ¿ µ¾ Ð ×Ý×Ø Ñ Ü Ý ¿Ü · Ý TPE MP – 2002 ½½ ½ On multiplie la premi`ere ´equation par 7 (qui est inversible dans ) pour obtenir Ü Ý , puis un pivot classique donne Ü ¾ et § ARIº¾¾     ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ò³ Ü ×Ø Ô × ÓÙÔÐ ´Ü Ý µ ¾ Æ £¾ Ø Ð ÕÙ Ý ¾ ¦ Ö ¹Ö¾ ¾℄ Supposons que Ü ½ soit une solution. – Si Ü est impair, (comme Ü ½ n’est pas solution), alors Ü

Diagonalisation de matrices A. DAOUDI Notions abordées I. Matrice diagonale, valeur propre/vecteur propre associé à un endomorphisme/matrice II. Sous-espace propre associé à une valeur propre III. Polynôme caractéristique associé à un endomorphisme/matrice IV. Conditions de diagonalisation d’un endomorphisme/matrice Dans ce chapitre, on note RK  ou CK  . Pour )(, KN nMn   désigne l’ensemble des matrices carrées de type nn à coefficients dans K I. Matrice diagonale, valeur

Exercices Corrig´s e Applications lin´aires e Exercice 1 – On consid`re l’application lin´aire : e e f : R4 → R2 1) 2) 3) 4) , (x1 , x2 , x3 , x4 ) → (x1 + x2 + x3 + x4 , x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ) . Quelle est la matrice de f dans les bases canoniques de R2 et R4 ? D´terminer le noyau de f . L’application lin´aire f est-elle injective ? e e Quelle est l’image de f ? L’application f est-elle surjective ? Soit y1 , y2 deux r´els, pr´ciser un vecteur u de R4 tel que f (u) = (y1 , y2 ). e e Exercice

Comme pour la méthode de Jacobi, la méthode de Gauss-Seidel pour la résolution d’un système d’équations linéaires (S) : AX = b, consiste en premier lieu à décomposer A sous la forme: A = D − E − F, où D est une matrice diagonale, E est une matrice triangulaire inférieure et F est une matrice triangulaire supérieure. A =  a1,1 0 · · · 0 0 . . . . . . 0 ... . . . . . . 0 0 · · · 0 an,n  ︸ ︷︷ ︸ D −  0 · · · · · · 0 −a2,1 . . . 0 ... . . . . . . 0 −an,1 · · · −an,n−1 0  ︸ ︷︷

Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires f1 : P →

du modèle 4.1 Analyse des résidus . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Résidus et valeurs aberrantes . . . 4.1.2 Analyse de la normalité . . . . . . 4.1.3 Analyse de l’homoscédasticité . . . 4.1.4 Analyse de la structure des résidus 4.2 Analyse de la matrice de projection . . . . 4.3 Autres mesures diagnostiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .