Matrice inversible

et qui les a modélisés comme des ressorts linéaires unidimensionnels (les membrures étaient supposées rigides, et les articulations passives parfaites). Ces hypothèses ont permis de réduire l’analyse de la rigidité d’un mécanisme à l’analyse de sa matrice jacobienne. Une évolution de ce modèle, tenant compte des flexibilités dans les membrures a été présentée dans [10] en utilisant des corps rigides et des flexibilités par des ressorts en torsion ou en flexion. Généralement, cette modélisation fournit

stricte. q + jp < 1. De même, p+q Maintenant, On en déduit que lim αk = α0 = a0 + b0 + c0 et que lim βk = lim γk = 0. k→ +∞ k→ +∞ k→ +∞ k→ +∞ lim αk = a0 + b0 + c0 et lim βk = lim γk = 0. k→ +∞ k→ +∞ ou encore la matrice C est la matrice obtenue à partir de la matrice B en échangeant ses deuxième et troisième colonnes. 13. 1 1 1 1 j j2 1 j2 j 1 0 0 1 j−1 j2 − 1 1 j2 − 1 j−1 12. Si on pose B = (bi,j )1≤i,j≤3 , on a  b1,1 C =  b2,1 b3,1 b1,2 b2,2 b3,2  1 0 b1,3 b2,3   0 0 0

modulo n. Il y en a n (#Zn = n) et on identifie Zn à l’ensemble {0, 1, ..., n − 1}. Zn est muni d’une structure naturelle d’anneau pour l’addition et la multiplication. Si k ∈ Zn est inversible, on calcule son inverse via l’algorithme d’Euclide et l’identité de Bezout. On note Z∗n l’ensemble des k ∈ Zn inversibles. Zn est un corps ssi n est premier et alors Z∗n = Zn /{0} dans ce cas. PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ Algorithme d’Euclide Soient donc deux entiers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Matrices, vecteurs, tableaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Quelques exemples élémentaires de graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chapitre 2  Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soit F = {x ∈ E/ ∀g ∈ G, g(x) = x}. 1 Montrer que dimF = Trg. p g∈G no 34 (***I) : Soient A1 ,..., Ap p matrices distinctes et inversibles de Mn (R) telles que G = {A1 , ..., Ap } soit stable pour la multiplication. Soit A = A1 + ... + Ap . Montrer que TrA est un entier divisible par p. no 35 (****) : Montrer que tout hyperplan de Mn (R) contient des matrices inversibles. 

identité de E, Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k! +∞ De même si u est

et ( ) ) ) (II.11) est une matrice circulante symétrique de taille Elle n’est pas réellement pentadiagonale en raison des diverses conditions aux limites adoptées. Dans le cas d’un contour fermé, elle se présente avec un pas d’échantillonnage égal à 1 sous la forme : 20 Chapitre 2 Contours actifs (II.12) Les valeurs propres de la matrice A s’expriment par [16] : . Dans ce cas / * + (II.13) est valeur propre, ce qui rend la matrice A singulière. Afin de remédier

assertion est un assemblage cohérent de symboles mathématiques (ou de mots) auquel on peut attacher une valeur de vérité : vrai ou faux. 3+2=5 π est un nombre irrationnel 1 3 = 0,33 sont des assertions vraies 8 est un nombre premier x>2 Les matrices A et B commutent. sont des assertions fausses En toute généralité, ces assemblages ne sont pas des assertions car nous ne pouvons pas leur attribuer une valeur de vérité. En mathématique, nous travaillons dans le cadre d’une logique bivalente

1 M´thodes it´ratives pour la r´solution d’un e e e syst`me lin´aire e e Dans cette partie, on s’int´resse essentiellement ` la r´solution, e a e par des m´thodes it´ratives, d’un syst`me lin´aire e e e e Ax = b avec A ∈ Mn (K) inversible et b ∈ K n . Notons que la r´solution d’un tel syst`me par des m´thodes e e e directes (Gauss, factorisation LU , Cholesky, ...) a ´t´ vue en ee ANI et la r´solution par la m´thode de Householder est donn´e e e e au chapitre 5. Concernant les m´thodes it´ratives

Soit F = {x ∈ E/ ∀g ∈ G, g(x) = x}. 1 Montrer que dimF = Trg. p g∈G no 34 (***I) : Soient A1 ,..., Ap p matrices distinctes et inversibles de Mn (R) telles que G = {A1 , ..., Ap } soit stable pour la multiplication. Soit A = A1 + ... + Ap . Montrer que TrA est un entier divisible par p. no 35 (****) : Montrer que tout hyperplan de Mn (R) contient des matrices inversibles. c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 3 http ://www.maths-france.fr