Matrice inversible

Systémes d’équations linéaires et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 9 Représentation matricielle : 2.1 Représentation d’une famille de vecteurs : 2.2 Représentation des applications linéaires . 2.3 Rang d’une matrice : . . . . . . . . . . . . 2.4 Changement de bases . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 261 261 263 266 268 14. Structures algébriques Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices IV 199 199 201 205 207 20. Matrices Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 275 275 278 284 287 Table des matières 21. Déterminants, systèmes linéaires Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

y1, ..., yn)} B. Étude dans le cas m ≤ n 1. (a) tAA est une matrice carée d’ordre m + 1 et son coefficient d’indice (i, j) est donné par : n∑ k=0 xi kx j k. (b) On a un sous déteminant maximal non nul d’ordre m + 1 extrait de A, à savoir ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 x0 · · · xm 0 1 x1 · · · xm 1 ... ... . . . ... 1 xm · · · xm m ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∏ 0≤j<i≤m (xi − xj) donc rg A = m + 1. (c) On sait que rgt AA = rgt A = rg A = m + 1, donc tAA est inversible. 2. (a) On a évidement AVp =t (P (x0), P (x1), ..., P (xn). (b)

-X’Y + X’Xâ = 0 sont appelées équations normales. On voit que l’on ne peut obtenir l’estimateur â de a que si (X’X) est inversible. Lorsqu’il y a colinéarité des variables explicatives, la matrice (X’X)-1 n’est pas inversible ! III.2/ Hypothèses et propriétés des estimateurs des MCO H1 : E(ε) = 0 ⇒ E(εt) = 0 ∀ t : l’erreur est d’espérance nulle. H2 : X est une matrice composée de variables certaines (non aléatoires). ⇒ Cov(xit , εt) = 0 ∀ t et i : pas de corrélation entre la variable explicative

L’analyse fréquentielle (voir TP 3) est donc rendue beaucoup plus délicate… 2. On constate que le couple de lettres (U ; D) est codé par (L ; L). Ê x ¢ˆ Ê 3 5ˆ Ê x ˆ B. 1. a. La relation s’écrit Á ˜ = Á ˜ Á ˜ . Ë y ¢¯ Ë 4 7¯ Ë y ¯ b. La matrice A est inversible car detA = 1 est différent de 0. 1 Ê 7 - 5ˆ Ê 7 - 5ˆ On sait que A -1 = Á ˜=Á ˜. det A Ë - 4 3¯ Ë - 4 3¯ c. Donc x = 7x¢ – 5y¢ et y = – 4x¢ + 3y¢. On prend d’abord les deux premières lettres KT : x¢ = 10 et y¢ = 19 d’où x = – 25 ≡ 1 (26)

normés 3 Nous notons la norme euclidienne de v ∈ Rn par n ||v|| = d(0, v) = 2 vi , i=1 de sorte que d(x, y) = ||x − y||. La norme est liée au produit scalaire canonique de Rn xi yi = xt y x, y = i=1 (où x est la matrice transposée de x ; c’est donc une matrice ligne, et il s’agit d’un produit matriciel de type « ligne × colonne » qui donne toujours un scalaire réel). Alors on a ||v|| = v, v . t 1.1. Proposition. La norme euclidienne a les trois propriétés suivantes. Pour tout

interpr´tation g´om`trique de l’int´grale I. e e e e Exercice 3 (sur base oral Agro 2008) On pose la matrice de M3 (R) :  1 −1 −1 A =  −1 1 −1  . −1 −1 1 1. Montrer que pour tout n ∈ N, il existe deux nombres r´els an et bn tels que : e An = an A + bn I3 . On donnera ´galement une relation entre an+1 , bn+1 et bn et an . e 2. La matrice A est-elle inversible ? Si oui, calculer sa matrice inverse. 3. Calculer An pour tout n ∈ N. 4. Peut-on g´n´raliser la formule ` n ∈ Z ? e e a  Exercice

de la matrice A . (cf. Ex. 9 Chap. 4). 3) En déduire une solution du système ( S ) . Solution : 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007 Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires 3 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007 Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires Exercice 2 Enoncé : 1 1 − 3   1 et on pose B = A + 4 I 3 . I) Dans M (3) , on considère la matrice A = 

2x+y+z=0 x+3y+az=0 Exercice 2 (5 points) Soit la matrice carrée d'ordre 3 suivante: A = (~ ~ ~ J 1) A est-elle inversible? Si oui, calculer son inverse. 2) En déduire le rang de A. 3) Soitfl'application linéaire associée à A dans les bases canoniques de IR'. Donner l'image d'un vecteur X quelconque parf 3) Est-elle bijective? Exercice 3 (6 points) Soit g l'application linéaire définie par: g(x, y, z) = (x + y, x - y - z). a) Donner la matrice B représentant g dans les bases canoniques de départ

matriciel 1 Définition Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2, m = 3 : | | n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier). On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij] Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément