Matrice inversible

127 chapitre 8. Fluctuation partie c et estimation ............................................................................... 137 Enseignement de spécialité ES ............................................................. 149 chapitre 9. Matrices ............................................................................................................... 151 chapitre 10. Graphes ...........................................................................................................

ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants 2) Equations linéaires à coefficients non constants Annexe

structure euclidienne canonique. Soit A et B les deux matrices de nies par : 01 1 1 11 0 1 0 ;1 0 1 A = B 1 1 1 1 C et B = B ;1 0 0 ;1 C @1 1 1 1A @0 1 1 0A 1 1 1 1 0 ;1 0 1 1. Calculer A2 et B 2 . En deduire les valeurs propres de A et de B . 44 ESCP 99 - Oral 2. Determiner les sous-espaces propres des endomorphismes a et b canoniquement associes a A et B . 3. Montrer qu'il existe une base orthonormee de R4 , dans laquelle les matrices associees a a et b sont toutes deux diagonales. 1. Un

si et seulement si M est inversible. Dans ce cas, M −1 est la matrice de u−1 dans B . soit injective donc il suffit que Ker u = {0}. (3.19) Lorsque dim E < ∞, pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il suffit que u soit surjective donc que rg (u) = dim E . (4.9) La matrice dans la base B de la famille F de p vecteurs de E est la matrice P dont la premi`re e colonne est constitu´e de la matrice colonne dans B du premier vecteur de F etc. e Matrices (4.10) Dans le contexte

inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´ e e 97 25 D´veloppements limit´s e e 99 26 Int´grales : compl´ments

[pic] (S étant le vecteur des coefficients, et L la matrice des variables explicatives). 3. Choix d’ une contrainte sur les coefficients On est tenté, au départ, d'appliquer la méthode d'ajustement des moindres carrés, sur le modèle [pic] , pour déterminer le vecteur des coefficients. Cependant, la matrice L n'est pas de plein rang : la somme des trois premières colonnes est égale à la dernière, donc la matrice [pic] ne sera pas inversible, et le vecteur des coefficients [pic] (qui se calculerait

´tape: inventaire des ´v`nements possibles . . . . . . . . . . e e e e ∗ 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 LEO, Universit´ d’Orleans, rue de Blois, BP 6739, Orleans Cedex 2, France; Courriel: jeane bernard.chatelain@univ-orleans.fr 2.2 2`me ´tape: matrice d’information du probl`me. . . . . . . . . . . e e e 2.3 3`me ´tape: R`gles de d´cision dans l’incertain et aversion au risque e e e e 2.3.1 Cas non probabilisable (incertitude), ´v`nement non omis: e e 2.3.2 Cas probabilisable (risque) g´n´ral.

, f : U → G une bonne application C r (2 ≤ r ≤ +∞) et (x0 , y0 ) ∈ U . On suppose qu’il existe un voisinage V de (x0 , y0 ) et une bonne application continue linéaire en la seconde variable L : V × G → F telle que, ∀(x, y) ∈ V, dy f (x, y) soit inversible d’inverse L(x, y). Alors x0 possède un voisinage W sur lequel est défini une bonne application C r g : W → F telle que : – g(x0 ) = y0 – ∀x ∈ W, (x, g(x)) ∈ U , et f (x, g(x)) = f (x0 , y0 ) ♦ Remarques : Pour Hamilton [2], les bons espaces de Fréchet

systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Matrices 1 Matrices rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Matrices carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction

an1 an2 On suppose que A est inversible. Donc le syst`me (S) admet la solution x = A−1 b. Par la e m´thode de Cramer, on a e ˛ ˛ ˛ a11 Ă Ł ˛ Ă Ł ˛ a21 det Aj ˛ xj = o` det Aj = ˛ . u ˛ . det(A) ˛ . ˛ a ˛ n1 a12 a22 . . . an2 . . . b1 . . . a1n . . . b2 . . . a2n . . . . . . . . . . . . . . . bn . . . ann ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 5.2.3 Calcul de l’inverse d’une matrice Ă Ł 1≤i,j≤nĂ Soit A = aij une matrice carr´e d’ordre n. On appelle matrice des cofacteurs, associ´e e e Ł