Matrice inversible

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique B de IR3 est :  2 10 7    A=  1 4 3.    −2 −8 −6 On note I la matrice unité de M 3(IR) et on pose u = (2, 1, –2). 1) a) Montrer que Ker f = vect(u). b) La matrice A est-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteur v de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et tel que f (v) = u. b) Démontrer que le vecteur w de IR3

algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1

retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 281 281 283 286 288 14. Structures algébriques Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices VI 203 203 205 209 211 20. Matrices Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 295 295 298 304 307 Table des matières 21. Déterminants, systèmes linéaires Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

Résolution numérique des systèmes d'équations linéairesRésolution numérique de systèmes d’équations linéaires Méthode du pivot de Gauss MNI - 3ème année - A.U. 2020/20212 2 La Méthode du pivot de Gauss La méthode du pivot de Gauss consiste à transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : • Permutation de deux lignes: Li ↔ Lj . • Multiplication d’une

noyau . . . . . . . . . . . 8 12.4. Projecteur . . . . . . . . . . . . . . 8 12.5. Théorème du rang . . . . . . . . . 12.6. Système linéaire . . . . . . . . . . . 8 9 9 13. Matrices 13.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Généralités sur les matrices carrées 9 13.3. Matrice d’une application linéaire . 9 13.4. Matrice de Passage . . . . . . . . . 9 13.5. Changements de base . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dé…nit les matrices A et P par : A= r1 + r2 1 r1 r2 0 ; P = r1 r2 1 1 ainsi que les matrices unicolonnes Xn par : Pour tout entier naturel n : Xn = an+1 an an+2 an+1 1. On a pour tout entier n :Xn+1 = et comme r1 + r2 = q et q an+1 + p q an an+1 = = q pq 1 0 an+1 an r1 r2 = p q on a bien alors Xn+1 = A Xn r2 1 la matrice est non r1 A r2 I = 1 la matrice est non 2. A r1 I = r1 r2 et comme la seconde colonne est r1 inversible. r1 r2 et comme la seconde colonne est r2 inversible. r1

Il y a n variables. 2.2.2 Forme canonique pure Sous cette forme, il n’y a pas de contraintes d’´galit´ c’est-`-dire I2 = ∅ et J2 = ∅. e e a On note x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn c = (c1 , · · · , cn ) ∈ Rn b = (b1 , · · · , bm ) ∈ Rm et la matrice A de taille m × n : a11  . A= . .  a12 ···  a1n . . .  . amn am1 am2 · · · Un programme lin´aire (PL) est dit sous forme canonique pure s’il s’´crit : e e max F (x) = c x = c1 x1 + · · · cn xn x sous les contraintes : Ax ≤ b x≥0

option ECONOMIQUE EXERCICE 1 On consid`re l’espace vectoriel E = R3 et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base e → → → canonique B = (− , − , − ) est la matrice A : e1 e2 e3   3 −2 3 2  A= 1 0 0 0 2 1. Calcul des puissances de A 1. D´terminer les valeurs propres λ1 et λ2 de l’endomorphisme f , avec λ1 < λ2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A−1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justifier que

: a zéro solution b Une seule solution c une infinité de solution 4.) Le reste de la division euclidienne de -21 par - 5 est : a -3 b 2 c 3  Exercice 2 : On considère la matrice A telle que : A= ������ 1.)a. Calculer det(A). b. En déduire que A est inversible. 2.) Montrer que ������−������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������ −������������ ������������ − ������������ ������ − ������ − ������������

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies