Matrice inversible

. . . . . . . . . . . . . . . . . 326 18 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 2 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 3 Inverse d’une matrice : définition . . . . . . . . . . . . . . .

des fonctions de classe C 1 de I 2.3 Par la recherche d'intégrales premières indépendantes Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p p telle que i=1 αi L i = 0 . En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de X − λX = (A − λI p )X + B p on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y = i=1 αi xi . Si A est diagonalisable

22 Existence et valeur de l’int´grale e 0 +∞ cos(nt) dt 1 + t2 TPE 23 Existence et calcul de π 2 0 1 dt 1 + tan2006 t 23 TPE 24 D´terminer l’adh´rence, l’int´rieur et la fronti`re du groupe sp´cial lin´aire SLn (R) ( ens des matrices de e e e e e e d´terminant 1). e TPE 25 π Ix = 0 ln(1 − 2x cos θ + x2 ) d θ e e a. D´terminer les valeurs de x pour lesquelles Ix est d´finie. b. Calculer Ix al’aide d’une somme de Riemann. c. Calculer I1 TPE 26 E = {f ∈ C 1 ([0

2 Tripôle 2 QUADRIPOLES Les quadripôles jouent un rôle fondamental dans l'analyse de nombreux systèmes, spécialement en télécommunications ou en automatique. Dans ce chapitre, nous en étudierons plus complètement les propriétés. 6.1 Matrices représentatives des quadripôles On appelle entrée l'accès 11' et sortie l'accès 22'. On a supposé à la Fig. 6.1 que le courant sortant des bornes 1’ et 2’ sont identiques à ceux entrant en 1 et 2. Cette hypothèse implique en fait que le quadripôle

système linéaire. Les solutions sont définies comme éléments de Rp . Système homogène associé à un système quelconque. Matrice A d’un système linéaire ; matrice augmentée (A|B ) où B est la colonne des seconds membres. Calculer le produit d’une matrice par une colonne. Écrire un système sous la forme matricielle AX = B . Opérations élémentaires sur les lignes d’un système ou d’une matrice : échange des lignes L i et L j , multiplication de L i par λ = 0, ajout de λ · L j à L i pour i = j . Interpréter

Équation-Régression Simple Exercice 1 : ?? On considère les matrices ? = ? ? ? ? ? ,? = ? ? ? ? ? ? ? ?? ? = ? ? ? ?? ?? ? ? ? 1) Calculer ?. ? −? et déduire ?′ . ?′ −? 2) Calculer ?? ?. ? ?? ?? ?. ? 3) Calculer ?−? 4) Soit ? une matrice de dimension ?, ? ?? ? = ?′ . ? Montrer que : a) ? est symétrique b) ?? ? = ??? ? ? 5) On considère des matrices carrées ?, ?, ?, ?, ? ?? ? où ? ?? ? sont deux matrices non singulières, développer le produit matriciel suivant

Gershgorin-Hadamard, appartient donc à la réunion des disques D pour i allant de 1 à N. Or D=D= { z / |z-2|1 } Et , D= { z / |z-2|2 } D’où = { z / |z-2|2 } Donc { z / |z-2|2 } Par ailleurs, A étant symétrique réelle donc . D’où 04. A étant inversible donc KerA={0}. Donc . Finalement 04 | 2- Voici le code du fichier tp3.m : clear all; % tp3.m (fait appel à GPF.m, GPO.m, GC.m) % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % methodes de descentes,

. . . . . . . . . . . . . 34 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 12. Alg`ebre lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.1 Matrices - Syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.2 D´eterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

/ − = f (− )) y x y x 2. ∃g ∈ L (E) g ◦ f = f ◦ g = idE 3. f est un élément inversible de l’anneau (L (E) , +, ◦) Les 7 conditions suivantes ne sont valables que si E est de dimension FINIE 4. l’image de toute base de E est une base de E 5. l ’image d’une base donnée de E est une famille libre 6. f est injective − → 7. ker f = { 0 E } 8. f est surjective. 9. (voir cours sur les matrices) : une matrice de f est inversible 10. (voir cours sur les déterminants) : det f = 0 D28 ATTENTION : 6., 7. et

contraintes, card(I ) = m ⇒m contraintes J = J1 ∪ J2 : ens. des indices des variables, card(J) = n ⇒ n variables 9 Notations Vecteurs : x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn (les inconnues) c = (c1 , · · · , cn ) ∈ Rn , b = (b1 , · · · , bm ) ∈ Rm Matrice A de taille m × n :  a11  . A= . . a12 ··· am1 am2 · · ·  a1n . . .  . amn 10 2) Forme canonique pure Sous cette forme, pas de contraintes d’´galit´ I2 = ∅ et J2 = ∅. e e Un programme lin´aire (PL) est dit