Matrice inversible

modèle 4.1 Analyse des résidus . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Résidus et valeurs aberrantes . . . 4.1.2 Analyse de la normalité . . . . . . 4.1.3 Analyse de l’homoscédasticité . . . 4.1.4 Analyse de la structure des résidus 4.2 Analyse de la matrice de projection . . . . 4.3 Autres mesures diagnostiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ratioe ` nalit´ de la fonction de transfert : e θ(z) ψ(z) = ϕ(z) La mod´lisation ARMA pt etre vue aussi comme une approximation Pad´. e e Hypoth`se : Le besoin de travailler avec des series stationnaires ARMA ayant repr´sentations e e causales et inversibles (voir dessous) nous forcent a accepter au debut seulement des fonctions de transfert ψ(z) qui n’ont ni des racines ni des poles dans le cercle unitaire |z| ≤ 1. Plus tard, en ` e renoncant a la stationarit´, nous alons permettre aussi des poles

(Correction) : Soient les matrices suivantes, trouver le type et la classe des matrices pour chaque matrice. A=( 6 11 13 7 9 8 -3 6 5 ) B= ( 9 0 1 0 0 3 −3 1 ) C=(7) D=( 3 2 0 ) E=(8 −1) F=( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) G=( 1 3 −3 3 1 0 5 0 1 ) H=( 1 0 0 0 1 0 5 0 1 ) J=(1) K=( 0 -3 −5 3 0 0 5 0 0 ) L=( 1 5 0 0 1 0 0 0 1 ) N=(0) Q=(1,8) P=( 1 0 0 0 6 0 0 0 9 ) LA MATRICE CLASSE DE LA MATRICE TYPE DE LA MATRICE A carrée Ordre 3

S(t)A(0)S(t)−1. Montrer qu'il existe B : R→Mn(R) telle que A′(t) = A(t)B(t)−B(t)A(t), ∀ t ∈ R. 2. Soit B : R →Mn(R) continue telle que A′ = AB − BA. Monrer que A est semblable à B(0). Exercice 2. [ENS] ('18) Soient n > 1 un entier naturel, B ∈ Rn et A une matrice carrée réelle symétrique. On suppose que pour tout V ∈ Rn, tV AV > 0. On note S = {U ∈ Rn ; AU = B} et on suppose S 6= ∅. Soit X ′(t) = −AX(t) +B (1) On appelle solution de (1) toute fonctionX ∈ C 1([0,+∞[) qui véri�e (1). On note ‖·‖ la norme

écricome 2003 option économique : corrigé rapide exercice 1 1.1.1 ( est valeur propre de f ssi A ( (I n'est pas inversible. En effectuant les opérations L1 ( L2, puis L2 ( L2 ( (3 ( ()L1, on obtient la matrice [pic] ((2 +3( ( 2 = 0 ( ( = 1 ou ( = 2 ; 2 ( ( = 0 ( ( = 2. Les deux valeurs propres de f sont donc (1 = 1, (2 = 2. 2. A est inversible car 0 n'est pas valeur propre de A. 3. Pour (1 = 1, le sous espace propre associé à pour base (1, 1, 0), pour dimension 1. Pour (1 = 2, le sous espace

Classification des EDP . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 A propos des m´thodes de discr´tisation d’EDP . e e 1.2 Analyse num´rique matricielle : motivations et rappels e 1.2.1 Motivation et classification des m´thodes . . . . e 1.2.2 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 7 7 8 2 Approximation de la solution de l’´quation de la chaleur en e dimension 1 par diff´rences finies e 2.1 Principe de la m´thode : le probl`me aux limites d’ordre

y . y∈A On note a = P (x) ce qui définit une application P : Rn → A appelée projection sur le convexe A. Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 16 X MP [ 03037 ] [correction] Caractériser dans Mn (C) les matrices dont la classe de similitude est fermée. Même question avec R au lieu de C 2 d) Montrer que s’il existe a ∈ A tel que (x − a | y − a) 0 pour tout y ∈ A, on a a = P (x). e) On suppose qu’il existe un y ∈ A tel que (x − P (x) | y − P (x)) > 0

1 Soit b la forme bilinéaire symétrique sur R3 de matrice  1 2 3 . Quel est le noyau de b, le rang de b ? 1 3 5 Trouvez une base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice 1  Exercice 2 Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique

des fonctions de classe C 1 de I 2.3 Par la recherche d'intégrales premières indépendantes Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p p telle que i=1 αi L i = 0 . En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de X − λX = (A − λI p )X + B p on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y = i=1 αi xi . Si A est diagonalisable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 REDUCTION DE JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Surdiagonale de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrice élémentaire de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Matrice de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Composition de la surdiagonale base associée à une réduite de Jordan 1.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .