Matrice jacobienne

185 185 185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . .

185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . .

185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . .

éviter d’écrire un exposant trop long). Notation de la fonction logarithme : ln désigne le logarithme népérien et log le logarithme à base 10 sauf dans le cas de la loi log-normale. Factorielle n! 5 n(n − 1)(n − 2)...2 3 1. Matrice transposée : La matrice t A transposée de la matrice A est obtenue en permutant lignes et colonnes. XI A Statistique descriptive 1 • REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET NUMÉRIQUE DES DONNÉES 1.1 Généralités et principales définitions c Dunod – La photocopie non autorisée

ensemble des fonctions affines définies sur RR à valeurs dans R. i ˜ Li : ensemble des fonctions affines définies sur RR à valeurs dans R. L : ensemble des fonctions affines définies sur RR à valeurs dans RR . Idn : matrice identité. D : ensemble des matrices diagonales. P : ensemble des matrices de permutation. C 1 : ensemble des fonctions continuement différentiables (continues, dérivables, de dérivée continue) . Sm : ensemble des permutations de {1, . . . , m}. 1 Table des matières Notations

Rk . On parlera, par exemple, de coût quadratique si L(d, θ) = ||d − g(θ)||2 où || · ||2 est la norme euclidienne 2 dans Rk . On peut aussi considérer la fonction de coût définie par L(d, θ) = (d − g(θ))(d − g(θ)) qui est à valeur dans l’espace des matrices symétriques positives. On parle dans ce cas de coût quadratique multidimensionnel. Tous les coûts précédents ont une propriété commune importante, celle d’être symétrique. On pénalise autant une surévaluation de g(θ) qu’une sous-évaluation. On pourrait

................................................... 199 1. Introduction et algorithme .......................................................................... 199 1.1. Estimation de la matrice fondamentale .................................................. 201 1.2. Extraction des matrices R et T................................................................ 202 1.3. Problématique ......................................................................................... 205

vers une gaussienne N(0, Π(t) − Π(t)2 ). De plus le th´or`me de la limite centrale vectoriel √ e e n Fn (ti )−Π(ti ) , 1 ≤ i ≤ d converge montre que pour tout (t1 , · · · , td ) ∈ [0, 1]d , le vecteur en loi vers un vecteur gaussien centr´ dont la matrice de covariance Σ est celle de (1[0,ti ] (U1 ) 1 ≤ e i ≤ d). Si d = 1, la covariance du processus gaussien centr´ Z limite est E(Zs Zt ) = s ∧ t − s t e pour tout s, t ∈ [0, 1], c’est ` dire la covariance du pont Brownien Wt − t W1 , o` (Wt , t ≥ 0)

au termes d’ordre s + 1 près : H(p, q) = Hs (P, Q) + R, R = O((|P | + |Q|)s+1 ) Preuve : Ce théorème se démontre en passant en coordonnées complexes. zk = pk + iqk , wk = pk − iqk (Il faut alors multiplier le hamiltonien par −2i qui est le jacobien de la transformation) Si les termes de degré < m ne sont pas déjà tués, alors la transformation avec comme fonction génératrice Pq +Sm (P, q) (où Sm est un polynôme homogène de degré m) va changer seulement les termes de degré supérieur à m dans

particulier, s’il est de dimension sup´erieure, cette libert´e laisse place ` a la mod´elisation de donn´ees d´ependantes. Par exemple, un mod`ele i.i.d.de vecteurs gaussiens supposera X = Rd et Xi ∼ Pθ = N(µ, Σ) avec θ = (µ, Σ) avec µ ∈ Rd et Σ−1 matrice d × d sym´etrique positive. Un autre exemple de donn´ees multi-dimensionnelles i.i.d. partage les composantes des donn´ees observ´ees en deux sous-vecteurs, l’un compos´e des variables explicatives, l’autre des variables expliqu´ees. 31 2