Matrice jacobienne

Etude lagrangienne des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Transport lagrangien d’un petit segment : tenseur gradient de la transformation . . . 25 2.1.2 Transport lagrangien d’un petit volume : jacobien de la transformation . . . . . . . . . 26 2.1.3 Transport lagrangien d’un produit scalaire : tenseur des dilatations de Cauchy . . . . 28 2.1.4 Variation lagrangienne d’un produit scalaire : tenseur des d´eformations de Green-Lagrange . . .

ϕd ) en u = (u1 , . . . , ud ), que l’on peut identifier à la matrice des dérivées partielles : (Du ϕ)ij = ∂ϕi (u) ∂uj Le Jacobien de ϕ en u est le déterminant de cette matrice, on le notera Jϕ (u). 5.1 L A FORMULE DE CHANGEMENT DE VARIABLES On commence par traiter le cas particulier où le difféomorphisme est une application affine. Proposition 5.1. Soit f : Rd → Rd définie par f (x) = M x + b, où M ∈ GLd (R) est une matrice d × d inversible, et b ∈ Rd . Si A ∈ B(Rd ), alors f (A) ∈ B(Rd

simplexe « tordu » positivement orienté). Soit ∆0 le simplexe ∆0 := {(t, s) ∈ R2 ; t ≥ 0, s ≥ 0,t + s ≤ 1} et Φ = (ϕ, ψ) une application de classe C2 au voisinage de ∆0 , à valeurs dans R2 , telle que dΦ(t, s) soit inversible en tout point de ∆0 et de jacobien strictement positif en tout point. On suppose aussi que Φ réalise une bijection entre ∆0 et Φ(∆0 ). Si ω = Pdx + Qdy est une 1-forme de classe C1 au voisinage de Φ(∆0 ), vérifier la formule de Stokes (ou de Green-Riemann puisque l’on est ici en dimension

e e e th´or`me de Liouville. e e II.1. D´finition des fonctions holomorphes e Applications lin´aires de C dans lui-mˆme. Une application lin´aire de R2 dans lui-mˆme peut e e e e ˆtre d´crite, par exemple, par sa matrice dans la base canonique. C’est une matrice carr´e d’ordre 2. e e e Elle contient donc quatre coefficients r´els. e Une application lin´aire (sur C) de C dans lui-mˆme est, elle, de la forme z → az, elle est donc e e d´finie par un nombre complexe unique, ou, si l’on

(Γ) l’espace des traces des ||u||k− 1 ,q,Γ = q sup {v∈W k,q (Ω) tel que v/∂Ω =u} ||v||k,q . 1 1 On définit sur H0 (Ω) la norme |u|1,Ω tel que |u|1,Ω = ||∇u||0 pour tout u ∈ H0 (Ω). Si A = (aij )i,j=1,2 et B = (bij )i,j=1,2 sont deux matrices. On définit le produit matriciel 2 A:B= i,j=1 aij bij , 1 2 et la norme matricielle La notation (i)j , i et j dans N∗ , dénote la j ème équation du système (i). Les espaces de fonctions scalaires ou vectorielles seront notés de la

chap. 12, § 2 e ` fY | X (· | x) : densit´ de Y conditionnelle a {X = x}, chap. 12, § 3 E[Y | X = x] : esp´rance de Y conditionnelle a {X = x}, chap. 12, § 3 e ` E[Y | X] : esp´rance math´matique de Y en X, chap. 12, § 3 e e t A : transpos´e de la matrice A, chap. 12, § 5 e e a N2 (0, Γ) : loi normale centr´e ` deux dimensions, chap. 12, § 5 ` N2 (µ, Γ) : loi normale a deux dimensions, chap. 12, § 5 gX (u) : fonction g´n´ratrice des moments de X, chap. 13, § 1 e e e ϕX (t) : fonction caract´ristique

deux opérateurs idempotents P1 , Q1 ∈ K0 (E), et deux éléments B1 , C1 ∈ L(E) tels que AB1 = I − P1 et C1 A = I − Q1 . (4) On suppose que E est un espace de Banach de dimension 3 muni d’une base (e1 , e2 , e3 ). On donne un élément A ∈ L(E) par sa matrice relativement à cette base ⎛ ⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (A) = ⎜ 0 0 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 000 Déterminer des éléments P1 , Q1 , B1 , C1 associés selon (3). Exercice VII.4 : Constante de Kottman H est un espace de Hilbert complexe de dimension infinie, et B est

la solution est it´rative et consiste ` reme e a placer ` chaque it´ration p par une nouvelle approximation p + ∆p (nous a e devrons donc fournir un vecteur p0 initial ` l’algorithme). a avec ∆p = (J T J + λI)−1 J T [y − f (t|p)] o` J est la matrice jacobienne de f en p. u Le facteur d’amortissement λ sera modifi´ ` chaque it´ration selon les e a e heuristiques suivantes : 1. Prendre λ = 1. 2. Mettre ` jour p grˆce ` D.2. a a a ´ 3. Evaluer l’erreur avec le nouveau vecteur p. 4. Si la mise ` jour `

adaptative adapter n. (instr.), adaptateur m. adatom n. (chim.), adatome m. add (to) v. t. (math.), ajouter, additionner, sommer aerospace •5 aerospace adjacent adj. (math.), adjacent adjoint adj., n., adjoint adj., n. m., ~ of a matrix (math.), matrice adjointe adjunct professor n., professeur m. adjoint adjunction n., adjonction f. adjust n. (instr.), réglage m. adjust (to) v. t. (instr.), régler, ajuster adjust focus (to) v. t. (opt.), mettre au point adjuster n. (instr., méca.), élément m. d’ajustement

(chim.), adipique adipose adj. (anat.), adipeux, ~ tissue, tissu adipeux aerospace •5 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. aerospace adjacent adj. (math.), adjacent adjoint adj., n., adjoint adj., n. m., ~ of a matrix (math.), matrice adjointe adjunct professor n., professeur m. adjoint adjunction n., adjonction f. adjust n. (instr.), réglage m. adjust (to) v. t. (instr.), régler, ajuster adjust focus (to) v. t. (opt.), mettre au point adjuster n. (instr., méca.), élément m. d’ajustement