Matrice jacobienne

θ = tan , 2 = θ. Ainsi ϕ est une bijection C 1 ainsi que son inverse de O √ √ sur O′ =]0, +∞[×] − π, π[ et ϕ−1 (ρ, θ) = ( ρ cos θ, ρ sin θ). Pour ne pas se tromper entre le jacobien de ϕ et de ϕ−1 dans le changement d’´l´ment diff´rentiel, il est ´clairant ee e e d’utiliser la notation suivante pour la matrice jacobienne x+ x +y 2 D(x, y) = D(ρ, θ) √ √ cos(θ)/(2 ρ) − ρ sin θ √ √ ρ cos θ sin(θ)/(2 ρ) . on ne change rien ` la valeur de I 2 en restreignant l’int´gration ` O : I 2 = a

 .   .  (2.2) Y1 1 X21 · · ·     Y2   1 X22 · · ·   où Y =  .. ..  ..  , X =  .. . .  .  . Yn 1 X2n · · · Xkn βk un Y est un vecteur à n éléments (une matrice n × 1), X est une matrice à n lignes et k colonnes, β est un vecteur à k éléments (une matrice k × 1) et u est un vecteur à n éléments (une matrice n × 1). Exprimé en notation matricielle, le modèle linéaire implique que : Y1 = β1 + β2 X21 + β3 X31 + β4 X41 + · · · + βk Xk1 + u1 Y2 = β1 + β2 X22 + β3 X32 + β4 X42 + · ·

= l=1 ∂xl fk (x)ξl , x ∈ Ω , ξ ∈ RN , 1 ≤ k ≤ n. Ainsi, f est une application continue de Ω dans l’espace L(RN , Rn ) des applications lin´aires de RN dans Rn . De plus, la matrice de f (x) dans les bases e canoniques de RN et Rn est, pour tout x ∈ Ω, (∂xl fk (x)) 1≤k≤n 1≤j≤N c’est ` dire la matrice ` n lignes et N colonnes, dont l’´l´ment situ´ ` la k-i`me a a ee ea e ligne et la l-i`me colonne est ∂xl fk (x). e Th´or`me 1.1.2 (D´rivation des applications compos´es) Soient U oue e

-diff´eomorphisme, c’est-` a-dire Φ est bijective, d´erivable, a d´eriv´ee continue et inversible : Φ (x) est une matrice d × d inversible pour tout ` x ∈ A. On consid`ere l’espace mesur´e (A, B(A), λ), l’espace mesurable (B, B(B)) et l’application mesurable Φ : A → B. Alors on a l’´egalit´e d(λ ◦ Φ−1 ) = |Jac(Φ−1 )| · dλ , o` u Jac(Ψ) = det(Ψ ) d´esigne le Jacobien (i.e., le d´eterminant de la matrice Jacobienne) d’une fonction diff´erentiable Ψ : Rn → Rn . Autrement dit : la mesure image λ ◦ Φ−1 est une mesure

66 . . . . . . . . . . . . . . . 68 68 68 68 70 72 . . . . . . . . . . . . . 74 74 74 75 75 77 78 79 79 81 82 82 84 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 CONTENTS 9 Petits rappels d’analyse numérique 9.1 Inversion de matrices et résolution de systèmes 9.2 Recherche de zéros . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Recherche d’optimums . . . . . . . . . . . . . 9.4 Interpolation de fonctions (par des polynômes) 9.5 Solutions d’équations différentielles . . . . . . . . . . .

. . . . . . 6.2.1 L’interpr´etation du seuil de confiance α . . . . . . . . . . . 6.2.2 Une explication du facteur multiplicatif (3 + ξ) . . . . . . . 6.2.3 Le choix de la distribution de probabilit´e . . . . . . . . . . 6.2.4 L’estimation de la matrice de covariance . . . . . . . . . . . 6.2.4.1 Un exercice de backtesting . . . . . . . . . . . . . 6.2.4.2 Les approches conditionnelles de l’estimation de la 6.2.5 Le probl`eme du scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5.1 Quelques ´el´ements

nominale . Ces simplifications transforment le système d’équations 2.4 en : (2.6) (2.7)L’équation 2.6 peut alors s’exprimer sous forme matricielle, ensuite soluble, par exemple, par inversion de matrice : (2.8) Comme précédemment une fois les valeurs de | v | et Θ connues, les transits sont calculés à partir des équations 2.5. En conclusion, notons que le modèle "DC" néglige l’effet de la

image. Des approches intermédiaires ont aussi été imaginées pour combiner leurs avantages, approches qui seront décrites dans la section 1.1.1. La matrice d’interaction Une autre définition importante est celle de la matrice d’interaction, qui relie la dérivée de la fonction de tâche et les vitesses (linéaire et angulaire) de la caméra. Cette matrice est centrale puisqu’elle relie les observations faites avec la caméra avec la dynamique que l’on souhaite contrôler. Suivant la nature de la fonction

sont obtenues en résolvant l’équation matricielle suivante: 200 Appendice D: Algorithmes d’Analyse AH = F D.3 dans laquelle A est une matrice Jacobienne (NxN), H est un vecteur (Nx1) représentant les charges inconnues aux nœuds et F un vecteur (Nx1) contenant les termes du côté droit. Les éléments diagonaux de la matrice Jacobienne sont: Aii = ∑ pij j tandis que les éléments non-nuls, qui ne se trouvent pas sur la diagonale s’expriment de la manière suivante: Aij = − p ij avec

On pourra consulter e [96] pour plus d’informations sur la gen`se de l’´quation, et [8] pour une pr´sentation e e e synth´tique. Le noyau de collision dans cette ´quation prend la mˆme forme que e e e (21), la diff´rence est dans l’expression de la matrice a(v − v∗ ), qui maintenant e d´pend aussi de v et f : e aBL (v, v − v∗ , f ) = B (k, k · v, f ) = 1 + |k|≤K0 k⊗k |k|4 δk·(v−v∗ ) (k, k · v, f ) 2 dk, (23) b k · f (u) du. |k|2 R3 k · (v − u) − i 0 Cette ´quation peut aussi ˆtre obtenue