Matrice normale

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

maths Niveau:MP 2009-2010 1. V´rifier que φ une forme lin´aire continue et calculer sa norme subordonn´e e e e 2. Montrer que |||φ||| n’est pas atteinte Exercice 7 : Soit A ∈ Mp (R). On suppose que la suite de matrices : An = I + A + A2 + · · · + An converge vers une matrice B. Montrer que I − A est inversible, et B = (I − A)−1 . Exercice 8 :On munit Mn (R) d’une norme subordonn´e||.|| , soit A, M ∈ (Mn (R))2 e 1 −1 1. Si||A|| < 1 alors In + A est inversible et ||(I + A) || 1 − ||A|| 1 2.

commutent si et seulement si a ∈ Kerψ et b ∈ Ker φ. En donner une caractérisation en fonction des hyperplans et des droites de t et de s. III Partie II 1. Soit u une involution de E. 1a. Montrer que Ker(u − id E ) ⊕ Ker(u + id E ) = E. 1b. Écrire la matrice de u dans une base adaptée à cette somme directe et en déduire det(u) en fonction de d = dim Ker(u − id). 1c. Montrer que Im(u + id E ) = Ker(u − id E ). On dit que u est une involution minimale si Ker(u − id E ) est de dimension 1. 2. 2a. Montrer

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

Matrices Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2013 - 2014 I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 1 / 12 Sommaire 1 Définition et notations 2 Opérations sur les matrices 3 Déterminant d’une matrice 4 Calcul de l’inverse d’une matrice 5 Résoulution d’un système d’équations linéaires : Pivot de Gauss I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 2 / 12 Définition et notations

X. Matrices - Déterminants - Systèmes d'équations 1. Introduction. 1.1 Exemple Afin de récolter de l'argent pour le camp, un groupe de guides vend des galettes et des truffes au chocolat. La première patrouille a vendu 10 paquets de galettes et 8 paquets de truffes. La seconde patrouille a vendu 12 paquets de galettes et 10 paquets de truffes. Et enfin la troisième patrouille a vendu 15 paquets de galettes et 5 paquets de truffes.  10 8    Le résultat de ces ventes peut être représenté

vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base à la base 2. Rôle de Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a

= f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A) et det A. Exercice 6 [ 01415 ] [correction] ¯ Soit A ∈ Mn (C) telle que t A = A. Montrer que det A ∈ R. Exercice 7 [ 01416 ] [correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre

x z y t AQ = QD ⇔ ⇔        z = λ1 x t = λ2 y x y . Le déterminant d’une telle matrice λ1 x λ 2 y est xy(λ2 − λ1 ). Puisque λ1 − λ2 = 0, ce déterminant est nul si et seulement si xy = 0. Par suite, Q est inversible si et seulement si x = 0 et y = 0. Les matrices Q telles que AQ = QD sont les matrices de la forme Les matrices Q ∈ G L n (C) telles que AQ = QD sont les matrices de la forme x λ1 x y λ2 y , (x, y) ∈ (C∗ )2 . http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget