Matrice normale

SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

la toolbox Gestion des variables et de l'espace de travail whos affiche les variables courantes, format long clear efface les variables et fonctions de la mémoire pack réorganise la mémoire size disp cd pwd renvoie la taille d'une matrice affiche une matrice de texte change le directory courant affihe le directory courant length renvoie la longueur d'un vcteur Commandes système dir, ls liste les fichiers delete suppression de fichiers getenv renvoie la variable d'environnement ! unix appelle

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

alors une loi binomiale. a. Préciser, en fonction de n, les paramètres de la loi de la variable aléatoire Y , son espérance mathématique E (Y ) et son écart-type σ(Y ). b. Dans cette question, on désigne par Z une variable aléatoire suivant la loi normale N µ, σ2 de moyenne µ = 64, 8 et d’écart-type σ = 3, 6. Calculer la probabilité p 1 de l’évènement {Z 71} à l’aide de la calculatrice. c. On admet que lorsque n = 81, p 1 est une valeur approchée à 10−2 près de la probabilité p(Y 70) de l’évènement

3970 ; enfin le revenu moyen des ménages par tête est de 3.369. Précisons que nous observons des valeurs aberrantes lorsque les individus prennent des valeurs exceptionnelles, dans notre cas on les définir comme des revenus qui sont supérieurs à la normal, cela peuvent rendre les résultats de l’estimation biaisée. 2. Représentation d’un histogramme et de la densité de la variable X Graphique 2 : histogramme de X et densité de X Noyau utilisé : noyau gaussien Fenêtre utilisée: N=100 et BW=0.4292

bonne réponse est d . On le vérifie en injectant les coordonnées des points A, F et H dans l’équation x + y − z = 0. 4. La bonne réponse est b . → − −−→ −−→ Un vecteur normal de P est n (1 ; 1 ; −1), or EC (1 ; 1 ; −1). Par conséquent EC est −→ −−→ −→ normal à P , et comme EL et EC sont colinéaires, EL est de ce fait aussi normal à P . 5. La bonne réponse est d . −−→ On a EC (1  ; 1 ; −1) et E(0 ; 0 ; 1) ; une représentation paramétrique de la droite (EC)  x = t y = t (t ∈ R) . Le point L a donc

VaR: la perte potentielle maximale d’un portefeuille dont le rendement suit une loi donnée, pour une probabilité fixée sur une période de détention donnée. Exemple:  Exemple concret:  Valeur du portefeuille 100Meuro Rendement suivant la loi normale N(0,1) Risque de 1% sur 10 jours   VaR=2.57*1%*100=2.57 Value At Risk        Introduction Un peu d’histoire Présentation de la Value At Risk Méthodes de calcul de la VaR (VaR) Comparaison des différentes méthodes Limites de la Var

du modèle 4.1 Analyse des résidus . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Résidus et valeurs aberrantes . . . 4.1.2 Analyse de la normalité . . . . . . 4.1.3 Analyse de l’homoscédasticité . . . 4.1.4 Analyse de la structure des résidus 4.2 Analyse de la matrice de projection . . . . 4.3 Autres mesures diagnostiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .