Mécanique rationnelle

. . . Développements limités 4 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Fonctions d’une variable 37 38 39 40 41 42 L’équation fonctionnelle f (x + y ) = f (x) + f (y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions d’une variable, nombres rationnels 46 47 48 50 52 53 Valeurs prises par une fonction dans tout voisinage de +∞ . . . . . . . . . . . . . . Continuité des fonctions, suites numériques Étude d’une fonction et d’une suite de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

governments bonds net wealth? » • Introduction des anticipations rationnelles dans la théorie de Ricardo. • Le revenu permanent: Le revenu présent et le revenu futur. • Désormais, lorsque l’Etat décide d’augmenter ses dépenses, les ménages vont réagir. 7 8 • Politique fiscale expansionniste → Augmentation du revenu → Augmentation de la consommation privée → Déplacement de la courbe IS vers la droite. • Les ménages sont rationnels, intelligents. Ils savent que l’Etat doit financer cette dépense

a et b ∈ Z∗ , nous conduit ` une extension de e e a Z par l’ensemble Q des nombres rationnels : En effet, un probl`me aussi simple que la r´solution de l’´quation xn = a, a ∈ Q∗ et e e e + n ∈ N, n’admet pas de solutions en g´n´ral dans Q. Plus pr´cis´ment, pour n = 2 : e e e e  Exemple 1.1.2 L’´quation x2 = 2 n’admet pas de solutions dans Q. x e • Mais, on sait former deux suites de nombres de rationnels l’une croissante, not´e e (xn ) : x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414, · · · et l’autre

10 ; 100 ; 1000… L’ensemble des nombres rationnels noté Q est l’ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction. L’ensemble des nombres irrationnels est l’ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui ne sont pas rationnels c’est à dire dont on ne peut avoir que des valeurs approchées et qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction : { π ; En clair : 4/3 est un nombre rationnel. 2; 3… Remarques Tous les nombres

des ensembles dits exceptionnels. Cela le conduit à définir en 1872 très précisément ce qu'est un nombre réel, comme limite d'une suite de nombres rationnels; parallèlement, son ami Dedekind donne la même année une autre définition de la droite des réels, Cantor et Dedekind constatent à cette occasion qu'il y a beaucoup plus de réels que de rationnels, mais il n'y a pas jusque-là de définition mathématique à ce "beaucoup plus". En 1874, dans le prestigieux Journal de Crelle, Cantor donne une définition

fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56[pic] ⅅ 3[pic] ⅅ [pic] ⅅ 4. Nombres rationnels Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient [pic]avec [pic] un entier et [pic]un entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté [pic]. Exemples : [pic] [pic] 4 [pic] [pic] -4,8 [pic] [pic] [pic] [pic]. 5. Nombres réels L'ensemble des nombres réels

Université Pierre et Marie Curie - Sciences et Technologies UFR 922 - EFU de Licence - mention Informatique UE LI350 (L3S2) - 'Initiation à l’administration de systèmes' Sujet d'Examen du 16 juin 2005 Gérard Nowak Durée: 2 heures Documents autorisés, mais non transmissibles Sujet sur 7 pages, 4 parties Qualités appréciées : - lisibilité de la copie, concision, précision, exhaustivité Conseils : - Que le manque de précision ne vous bloque pas malgré tout dans vos écrits. N'hésitez pas

l’intervalle [2 ; +∞[. 4/ Dresser le tableau de variation de la fonction h. Exercice 5 : Étude d’une fonction rationnelle 1 5 Soit r la fonction définie sur IR–{3} par r(x) = x–3 1/ En utilisant la méthode vue précédemment déterminer le sens de variation de r sur ]3 ; +∞[ puis sur ]–∞ ; 3[. 2/ Dresser le tableau de variation de la fonction r. Exercice 6 : Étude d’une fonction rationnelle 2 Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x + 1 x On veut déterminer les variations de f. 1/ Représenter

1 ; 10 ; 100 ; 1000… L’ensemble des nombres rationnels noté Q est l’ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction. L’ensemble des nombres irrationnels est l’ensemble de tous les nombres, positifs et négatifs, qui ne sont pas rationnels c’est à dire dont on ne peut avoir que des valeurs approchées et qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction : { π ; En clair : 4/3 est un nombre rationnel. 2; 3… Remarques Tous les nombres entiers

nombres décimaux est noté o est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10  L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. o ℚ est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient  . avec a entier relatif et b entier relatif non nul. L’ensemble des nombres réels est noté est l’ensemble de tous les nombres utilisés en