Mode normal

aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables Variables aléatoires continues Chapitre 6 : Exemples de distributions 6.1 Lois discrètes 6.1.1 Loi de Bernoulli 6.1.2 Loi binomiale 6.2 Lois continues 6.2.1 Loi normale 6.2.1.1 Définition 6.2.1.2 Propriétés 6.2.2 Loi du χ2 (chi-2) 6.2.2.1 Définition 6.2.2.2 Propriétés 6.2.3 Loi de Student 6.2.4 Loi exponentielle Chapitre 7 : 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.3.2 7.4 Statistiques descriptives Rappels

sont des triplets comme (p,f,p) indiquant le r´esultat pr´ecis de chacun des trois lancers. Ici Ω = {f, p}3 . L’´ev´enement B « obtention de pile au deuxi`eme des trois lancers » est compos´e : B = {(f, p, f); (f, p, p); (p, p, f); (p, p, p)}. Avec ce mode de repr´esentation, les op´erations logiques sur les ´ev´enements : « et », « ou », « n´egation » se traduisent par des op´erations ensemblistes : intersection, r´eunion, passage au compl´ementaire. Voici un tableau de correspondance entre les deux

´v´nements rares e e 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . . e e 2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss . . . . . 2.2.3 Loi du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Quelques remarques sur l’op´rateur IE . . . . . . e 1

comme (p,f,p) indiquant le r´sultat pr´cis de chacun des trois e e 3 lancers. Ici Ω = {f, p} . L’´v´nement B « obtention de pile au deuxi`me des e e e trois lancers » est compos´ : B = {(f, p, f); (f, p, p); (p, p, f); (p, p, p)}. e Avec ce mode de repr´sentation, les op´rations logiques sur les ´v´nements : e e e e « et », « ou », « n´gation » se traduisent par des op´rations ensemblistes : ine e tersection, r´union, passage au compl´mentaire. Voici un tableau de correspone e dance

comme (p,f,p) indiquant le r´sultat pr´cis de chacun des trois e e 3 lancers. Ici Ω = {f, p} . L’´v´nement B « obtention de pile au deuxi`me des e e e trois lancers » est compos´ : B = {(f, p, f); (f, p, p); (p, p, f); (p, p, p)}. e Avec ce mode de repr´sentation, les op´rations logiques sur les ´v´nements : e e e e « et », « ou », « n´gation » se traduisent par des op´rations ensemblistes : ine e tersection, r´union, passage au compl´mentaire. Voici un tableau de correspone e dance

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

cours d’un intervalle de temps fini a une distribution normale dont la variance augment avec la langueur de l’intervalle Soit z une variable qui suit un mouvement brownien simple. Soit ∆z l’accroissement de z pendant un petit intervalle de temps ∆t. ∆z a deux propriétés : 1. ∆z = ԑ ∆t L’accroissement dépend donc de la racine carrée de l’intervalle pendant lequel il se produit. ԑ est une variable aléatoire qui a une distribution normale centrée réduite, c'est-à-dire que : * Son espérance

avec une loi Normale. On superpose la densité d’une loi Normale et on conclut visuellement si l’on peut accepter l’hypothèse de normalité. #On affiche les 2 graphiques cote à cote par(mfrow=c(1,2)); #On crée la densité de la loi normale comme indiqué dans l’énoncé pour les log rentabilités #journalières et mensuelles x=seq(-4,4,length=1000) y1=dnorm(x, mean(logD), sd(logD)) y2=dnorm(x, mean(logM), sd(logM)) #On crée les 2 histogrammes et on superpose les graphiques des lois normales hist(logD,col="blue"

est donn´ par : e ] Φ−1 ( 1+α ) r Φ−1 ( 1+α ) r √2 , + √2 [. − n n 2 n 2 n Pour un exemple, cf. le troisi`me exercice du devoir surveill´. e e 2.2 Estimation de l’esp´rance d’une variable gaussienne. e On suppose que la variable X suit une loi normale N (µ, σ), µ et σ ´tant inconnus, e et on cherche ` d´terminer un intervalle de confiance pour µ au niveau 1 − α. Soit a e T une variable al´atoire suivant une loi de Student ` ν = n − 1 degr´s de libert´ ; e a e e au moyen de la table de la loi de

Cours : Rappeler le th´or`me Central Limit avec ses hypoth`ses dans le cas g´n´ral. e e e e e √ Wn − λ (b) En d´duire que n √ e converge en loi vers une loi normale centr´e r´duite e e λ √ Wn − λ (c) On pose An = n √ . En utilisant la d´composition suivante e Wn ￿ √ Wn − λ λ An = n √ , Wn λ montrer que An converge en loi vers une loi normale centr´e r´duite. e e (d) En utilisant la statistique An , d´duire un intervalle de confiance asymptotique pour λ ` e a 95% 6. Les observations x1 , . . . , xn