Nombre complexe

I Algèbre générale 1 Applications 2 Coefficients du binôme 3 Ensembles finis 4 Nombres complexes 5 Opérations 6 Groupes 7 Anneaux 8 Relations d’équivalence 9 Relations d’ordre 10 Propriétés de N 11 Propriétés de R 12 Suites récurrentes linéaires 13 Permutations 6 6 8 10 12 16 16 21 25 27 29 30 31 32 II Arithmétique 34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes

Bac blanc mars 2013 Série STI2D Durée 4 heures (Calculatrice autorisée) Barème sur 40. Exercice 1 : (10 points) 1°) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O, , ) d’unité graphique 4 cm, on considère trois points A, B et C d’affixes respectives : zA = 1 + i , zB = 1 – i , zC = 1 . a) Déterminer la forme trigonométrique de zA et zB . b) Placer les points A , B et C dans le plan muni du repère (O, , ). Justifier l’alignement de ces points

b) En déduire que f = Id ( Id étant l’application identique du plan ). c) Placer le point H symétrique de D par rapport à O et démontrer que rF ( H ) = D . d) En déduire que le triangle FOD est rectangle et isocèle en O. EXERCICE 2 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O, u , v ), (Unité graphique : 1 cm),on donne les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 , b = 1 − i 3 et c = −4 . On considère l’application f du plan dans le plan qui à tout point M d'affixe z ,

fortement sur la décomposition polaire et ses variantes (notamment la décomposition polaire maximale), qui est étudiée en détail dans les exercices du chapitre VI, et rend à peu près autant de services que la décomposition polaire z = eiθ ρ des nombres complexes ! C’est ce que nous avons cherché à montrer, en particulier dans la caractérisation complète des points extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert. D’autres propriétés des isométries partielles, certaines peu connues, sont également

Projet Compilation FLEX et YACC à envoyer à : ludovic.mignot@univ-rouen.fr au plus tard pour le 6 janvier Nombre d’étudiants maximal par groupe : 2 N’oubliez pas d’indiquer les deux noms du groupe 1 Mise en Page Automatique (FLEX) : Vous devrez réaliser un programme de mise en page automatique. À partir d’un fichier source utilisant des marqueurs (des motifs particuliers), l’éxécution de votre programme doit produire un document texte mis en page selon plusieurs contraintes. Un exemple de

magnétoélectriques sont utilisables seul en sinusoïdal. 9 Les grandeurs instantanées sont toujours indiquées en minuscule. FST Tanger / Dépt Génie Electrique 2 M. EL MRABET Courants monophasés I-2 Représentation vectorielle / notation complexe I-2-1 Diagramme de Fresnel La valeur instantanée d’une grandeur sinusoïdale est la projection sur un axe fixe d’un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω x x θ=ωt+ϕ θ Donc à toute grandeur sinusoïdale x(t) = X 2 cos(ωt + ϕ) on associe

(πA,C ) ≤ d = deg (πA,R ) . ( ) Comme d est le degré du polynôme minimal dans R [X] de A ∈ Mn (R) , le système Ak 0≤k≤d−1 est nécessairement R-libre dans Mn (R) , ce qui entraîne qu'il est C-libre dans Mn (C) . En eet d−1 ∑ s'il existe des nombres complexes λ0 , · · · , λd−1 tels que λk Ak = 0, en notant λk = αk + iβk avec αk et βk réels, on a d−1 ∑ k=0 αk Ak = 0 et d−1 ∑ k=0 k=0 βk Ak = 0 dans Mn (R) (A est réelle) et αk = βk pour tout k. ( ) Comme d′ est le degré du polynôme minimal

effectuer ce travail représente l’accélération. 4. Quaternions Les quaternions donnent un système mathématique permettant de représenter des objets grâce à leurs positions et leurs angles. Les quaternions sont aux nombres complexes ce que les nombres complexes sont aux nombres réels. Ils sont plus simples à utiliser que les angles d’Euler et sont plus stables que les matrices de rotations. Le principe est simple : au lieu de tourner un objet via une série de rotations successives, les quaternions

Scientifique Lycée René Cassin, Gonesse (Val d’Oise, France métropolitaine) Correction Bac Blanc Ma sht ths aM TS1&2&3 Obligatoire & Spécialité n o i c t c e lan r r Co ac B B Exercice 1. Commun à tous les candidats Polynésie juin 2006 Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, → u, → v ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre

et en prenant 1__#$!@%!#__img207.png , img438.png . (c) : LES COEFF. img439.png DES FACTEURS QUADRATIQUES On peut appliquer la même méthode, mais avec les racines complexes de ces facteurs img440.png . Pour celà, on multiplie par le facteur img441.png , puis on prend 1__#$!@%!#__img66.png égal à une des racines complexes du facteur, pour trouver (avec la partie réelle et imaginaire) les coeff. img442.png et img443.png : Dans notre cas, img444.png les racines sont donc les 2 racines