Nombre complexe

pénalisée par le retrait d’1 point . Page 1 sur 11 CONCOURS AVENIR – 8 MAI 2014 LES COMPLEXES est : 1. Le nombre complexe a. nul b. négatif c. positif d. aucune des trois propositions ci-dessus n’est correcte L'équation admet 2. Dans ℝ : a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. 3 solutions 3. Dans ℂ : a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. 3 solutions Soient, dans un repère orthonormé direct du plan complexe, les points A ; B ; C et D d'affixes respectives : 4+i ; -2-i ; 2+3i et 1 4. Le

Rn e 4.1 L’exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Propri´t´s g´n´rales des isom´tries . . . . . . . . . . . . . e e e e e 4.3 Isom´tries de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4 Liaison avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . 4.5 Isom´tries de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments

plan euclidien. On se propose de construire, si c'est possible, un point M tel que la somme des distances MA+MB+MC soit minimale. II. Etude d'une condition d'existence et d'unicité - Données : On identifie le plan à l'ensemble C des nombres complexes: on munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v) et à tout point M=O+xu+yv on associe son affixe z=x+iy. On note a, b et c les affixes de A, B et C, que l'on suppose non nulles. On se donne également trois points P, Q et R d'affixes p, q et

variant en fonction du temps La Transformation de Fourier n’est pas adaptée à l’analyse des signaux non stationnaires LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 8/6 Série de Fourier d’une fonction périodique Si x(t) est une fonction complexe de variable complexe périodique de période 1 on a: 1 x(t) = a0 + 2 k=∞ (ak cos(2kπt) + bk sin(2kπt)) k=1 (1) Les coefficients ak et bk sont calculés par: ak = 2 bk = 2 1 0 x(t)cos(−2kπt)dt 1 0 x(t)sin(−2kπt)dt (2) LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES

Réponse a Le module devient 4 et l’argument devient –π/2 donc on obtient 4 x (-i) Autre méthode : mettre le nombre complexe dans la variable Z (STOre -> Z) et demander Z² : la machine donne -4i ! ( le i est en bas avec la touche point . ) 2. Réponse d Le module devient ½ et l’argument devient positif : +π/4 3. Réponse b On essaye tout ou alors : on a ²= 4 donc = 2 ou -2 : c’est le nombre qui doit être devant x (le x +…) 4. Réponse b p(X > 8) = e-(0,2x8) = 0,20189… Exercice 2 : 1. u1=6,2

FORMULAIRE – RESUME – MATHS en TERMINALE S COMPLEXES M(x,y) dans (O ; i , j ) a pour affixe z : z = x + i y dans C C Le conjugué de z est : z = x " iy ! ! Module de z : z = z z = x 2 + y 2 ! Forme trigonométrique : z = "(cos# + isin # ) où # = angle (i,OM) [2π] ! Forme exponentielle : z = "e i# (avec z = " et " = angle (i,OM) = argument de z) ! Conjugué de z : z = "e#i$ ! ! ! Soient A et B d'affixes zA zB alors AB a pour affixe zB - zA et AB = zB " zA ! Propriétés des modules z =z ;

n est un nombre entier. L’onde progressive s’écrit souvent : s (x, t) = S0 cos [ωt − kx] ω où k = V = 2π est appelé le module du vecteur d’onde qui s’exprime en m−1 . λ On utilise très souvent la notation complexe d’une onde progressive sinusoïdale : la forme suivante qui permet de mettre en évidence la double périodicité (dans le temps et dans l’espace) : ¶¸ ∙ µ x t − s (x, t) = S0 cos 2π T λ s (x, t) = S0 ei(ωt−kx) s (x, t) = S eiωt où S = S0 e−ikx représente l’amplitude complexe de l’onde

n, on pose Pk = Xk (1 − X)n−k . Montrer que la famille (Pk )0 k n est une base no 11 (**I) : (Polynômes d’interpolation de Lagrange) Soient a0 ,..., an n + 1 nombres complexes deux à deux distincts et b0 ,..., bn n + 1 nombres complexes. Montrer qu’il existe une unique famille de n + 1 polynômes à coefficients complexes de degré n exactement vérifiant ∀(i, j) ∈ 0, n , Li (aj ) = 1 si i = j et 0 sinon. Montrer que la famille (Li )0 i n est une base de Cn [X]. Montrer qu’il existe un unique

de (E). 2- Trouver l’autre solution Z1 de (E). 3- Ecrire Z0 et Z1 sous leurs formes exponentielles. B. On pose P(Z)=Z3-4Z2+ (5-e2iα) Z+2(-1+e2iα) 1- Calculer P(2). 2- Déterminer les nombres complexes a et b pour que P(Z)= (Z-2) (Z2+aZ+b). 3- Déduire dans ℂ les solutions de l’équation P(Z)=0. C. Dans le plan complexe muni d’un RON (O,��,�� ), on considère les points A, M et N d’affixes respectifs : ZA=2, ZM=1+eiα et ZN=1-eiα. 1- Montrer que : OMAN est un parallélogramme. 2- Déterminer la valeur de

milieux sont suppos´es homog`enes, isotropes, transparents et non charg´es. Un rayon situ´e dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle d’incidence θ . Afin de ne pas confondre l’angle i d’incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1, on notera ce dernier j tel que j2 = −1. Quelques constantes sont donn´ees en fin d’´epreuve. Les vecteurs sont surmont´es d’un chapeau, ux , s’ils sont unitaires ou d’une fl`eche, E, dans le cas g´en´eral. I. —