Nombre complexe

valeur de Z U pour laquelle la puissance active fournie est maximale. Nous notons : Z g = Rg + j X g B R S = 43, 3 V et R P = 86, 6 V A On détermine ainsi les valeurs des résistances d’adaptation : En utilisant la notation complexe, la puissance complexe fournie par le générateur est : avec u = ZU · i et i= Eg Eg = ZU + Z g RU + Rg + j X U + X g Z · i · i∗ = 2 2 E 2g 2 + XU + X g 2 (RU + j X U ) M RU + Rg RU + Rg 2 + XU + X g 2 ·

suivants du Code pénal. Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Second degré 5 Trigonométrie 18 Fonctions de référence 30 Fonction dérivée 49 Applications de la dérivation 61 Suites 76 Statistiques et probabilités 90 Produit scalaire 103 Nombres complexes 113 C H A P I 1 T R E Second degré Activités Activité 1 Trajectoire d’une fusée expérimentale O b j e c t i f : montrer l’utilité de résoudre une équation ou une inéquation du second degré à travers la modélisation d’une situation

+ (c) 1 20 + 1 19 < 1, donc (un ) a pour limite 0, et (pn ) a pour limite 1 lorsque n tend vers +∞. 19 Exercice 4 (enseignement obligatoire) Partie A - Restitution organisée de connaissances Écrivons la forme trigonométrique des complexes z1 et z2 : z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) On a donc : z1 z2 = r1 r2 (cos θ1 + i sin θ1 ) (cos θ2 + i sin θ2 ) = r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i (cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 )] = r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + i sin (θ1 + θ2 )) avec r1 r2 > 0

Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Second degré 5 Trigonométrie 18 Fonctions de référence 30 Fonction dérivée 49 Applications de la dérivation 61 Suites 76 Statistiques et probabilités 90 Produit scalaire 103 Nombres complexes 113 C H A P I T R E 1 Activités Activité Second degré 1 Trajectoire d’une fusée expérimentale O b j e c t i f : montrer l’utilité de résoudre une équation ou une inéquation du second degré à travers

[−π/2, π/2] (impératif pour que cos(θ) soit positif). La formule de changement de variables donne donc : r=2 cos θ θ=π/2 I = r2 drdθ θ=−π/2 r=0 = 8 3 π/2 cos3 θdθ. −π/2 Il reste à linéariser cos3 θ, ce que l’on fait en utilisant les nombres complexes : cos3 θ = 1 3 cos 3θ + cos θ. 4 4 On achève le calcul sans difficultés pour trouver : I= 32 . 9 Exercice 9 - Et encore... - Deuxième année 1. Avec un domaine de cette forme, il n’y a pas d’hésitations à avoir, il faut passer en coordonnées

Applications 6 2 Coefficients du binôme 8 3 Ensembles finis 10 4 Nombres complexes 12 5 Opérations 16 6 Groupes 17 7 Anneaux 23 8 Relations d’équivalence 28 9 Relations d’ordre 29 10 Propriétés de N 32 11 Propriétés de R 34 12 Suites récurrentes linéaires 35 13 Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes

Vi ), i = 1, ..., m, t → eµi t Wi , i = 1, ..., l sont 2m + l solutions réelles linéairement indépendentes sur R. N.B. : Un e deuxième méthode pour obtenir la solution générale réelle consiste à considérer la partie réelle de la solution générale complexe. 3. Dans le cas général on travaille avec l’exponentielle de A : eA = d tA dt (e ) = A+B ∞ k=0 Ak k! Proposition 1 (a) AetA = etA A (b) Si AB = BA alors e = eA eB (c) Pour toute matrice A on a (eA )−1 = e−A Comment calculer eA

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

futur de l’entrée (x(n+i)). Il est non récursif car la sortie ne dépend que de l’entrée. VI-5 Exercices Il est donc à réponse impulsionnelle finie (h(n)=δ(n)+δ(n-4)) et stable (3) On remplace z par exp(2.j.π.f) H(f) = 1 + a.exp(-8.j.π.f) C’est un complexe. Nous allons donc représenter son module qui donne la représentation la plus significative. |H(f)|² = (1 + a.cos(8.π.f))² + (a.sin(8.π.f))² = 1 + a² + 2.a.cos(8.π.f) |H(f)|² (1+a)² 1+a² (1-a)² 0 -1/2 -3/8 -1/8 0 1/8 3/8 1/2 f Je représente

UTM-ISMAG M1 MIMA40 C.Hassenforder Chapitre 4 TRANSFORMATION DE FOURIER Sous des hypoth`ses assez g´n´rales, la transformation de Fourier permet d’exprimer une e e e fonction comme superposition “continue” d’exponentielles complexes e2iπνx ν∈IR g´n´ralisant e e ainsi l’expression en s´rie de Fourier d’une fonction p´riodique. La transformation de Fourier e e sera d´finie pour les fonctions de L1 (IR), puis de S(IR) et enfin par prolongement de cet espace e a ` L2(IR), qui repr´sente l’espace