Nombre complexe

MP 2011/2012 Chapitre 12 : Séries entières 1 Chapitre 12 – Séries entières 1 1.1 Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les

propriétés qui analysent plus finement la régularité de cette fonction : en particulier son ordre de Holder local et son spectre multifractal. Le sujet a pour objet d’établir la dérivabilité de la fonction q au point 1 ; il utilise des outils de l’analyse complexe. Le problème est composé de cinq parties ; les deux premières parties ont pour objectif d’établir la formule (2) qui sera utile dans la cinquième partie. Les trois dernières parties du problème s’enchaînent entre elles. 1ère partie Formule sommatoire

Mathematiques ´ Nombres complexes, trigonometrie Sommaire Nombres complexes, trigonom´trie e Sommaire I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . I.1 D´finition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e I.2 Notation cart´sienne . . . . . . . . . . . . . . . . e I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Fonctions ` valeurs complexes . . . . . . . . . . . a II Argument, exponentielle complexe . . .

xn 2 n+1 xn n+1 nx2n+1 n x4n−1 11) (**) ∑+∞ 12) (**) ∑+∞ 9) (** I) ∑+∞ 10) (*) ∑+∞ n=0 (n + 1)2 n=0 (−1) n=1 n n=1 (−1) 4n +∞ n 13) (***) ∑n=0 an x où a0 = a1 = 1 et ∀n ∈ N, an+2 = an+1 + an n 14) (**) ∑+∞ n=0 an x où an est le nombre de couples (x, y) d’entiers naturels tels que x + 5y = n. x 5) (*) ∑+∞ n=0 (4n)! n 6) (**) ∑+∞ n=0 (ch n)x Correction [005746] Exercice 3 Développer en série entière les fonctions suivantes : 1 1) (*) (x−1)(x−2) x sin a 4) (**)

Exercices : Nombres complexes – Niveau :4Sc.exp – A.S :09/10 L.Bechri Prof :Lahmadi.Adel E xercice N :1 On donne z = 3 + i 3 et z ' = −1 + 2i Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = z − z ' ; z2 = z.z ; z3 = z '2 ; z4 = (1 + i )2 ; (1 − i ) 2 ; (1 + i ) 2010 ; (1 − i ) 2011 ; i 9 z z' Exercice N :2 Dans le plan complexe , construire les points images respectifs des nombres complexes : a = 2 − i ; b = −3 − i ; c = −2 − 6i Construire les images des nombres complexes

MATHEMATIQUES 1 NOMBRES complexes 1 Construction et définition des nombres complexes : On appelle [pic] l'ensemble [pic] des couples de nombres réels muni des opérations internes suivantes : l On peut démontrer les propriétés fondamentales de ces opérations, que l'on déduira des propriétés de [pic]. 1. Associativité de chacune des opérations : [pic] 2. Existence d'un élément neutre pour chacune des opérations : [pic] 3. Tout nombre complexe a un opposé pour l'addition , et tout nombre complexe

National S 2010 Equation différentielle – Restitution organisée de connaissances : suites – QCM Probabilité – Complexes Annales bac S non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2010/bac_s_national_2010.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2010 Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées

Chapitres 9 : les nombres complexes 1er f´evrier 2014 Contrôle de mathématiques Jeudi 30 janvier 2014 Exercice 1 ROC 1 point Pré-requis : Pour tous complexes z et z′ , on a : zz = |z|2 et zz′ = z z′ Montrer que pour tous complexe z et z′ , on a : |zz′ | = |z| |z′ | Exercice 2 Equation du troisième degré 4 points Soit l’équation (E) : x3 − 18x + 35 = 0 1) a) Démontrer, sans la calculer, que l’équation (E) possède au moins une solution réel α. On pourra éventuellement définir la fonction

φ(z) φ holomorphe au voisinage de dans un des deux premiers cas suivant que m = 0 ou m = 0. f (z) = a + Fig. 1. Singularité essentielle 1 1. FONCTIONS MÉROMORPHES ET SÉRIES DE LAURENT 2 Remark 1.2. Dans le cas ii) il existe des complexes au moins est non nul, tel que fonction holomorphe sur f (z) − a−1 , a−2 , ..., a−m dont l'un a−i 1≤i≤m (z−z0 )i se prolonge en z0 en une 1 Ω. f : z → ez admet une singularité essentielle en Example 1.3. la fonction z = 0. Démonstration

plan complexe est muni d’un repère orthonormal [pic]. L’unité graphique est égale à 1 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument[pic] 1. Soit [pic], où z désigne un nombre complexe. a. Vérifier que [pic]. b. Résoudre, dans l’ensemble [pic]des nombres complexes, l’équation [pic] 2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : [pic] [pic] et [pic] a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes