Nombre complexe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 4 Nombres complexes 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques

01. Les nombres complexes 1 1.1 Introduction Construction de C En mathématiques, il arrive souvent que l’on introduise de nouveaux objets pour résoudre un problème : par exemple, les grecs pensaient que seuls les nombres rationnels existaient, mais on a √ vu que 2, la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, était irrationnel. On a complété Q en R. De même, nous savons tous qu’un nombre négatif n’a pas de racine, on introduit le symbole i tel que i2 = −1 et l’ensemble des éléments

cos(−nπt ) − sin(−nπt ) = + cos(nπt ) + sin(nπt ) S g (t ) = S f (−t ) = + 2 π2 2 π2 4 n=1 n nπ 4 n=1 n nπ 4. Soit h et k les fonctions définies sur R , périodiques de période 2, telles que : h(t ) = f (t ) + g (t ) et k(t ) = f (t ) − g (t )pour tout nombre réel t (a) Sur le document réponse n°1, à rendre avec la copie, tracer les courbes Ch h et k sur l’intervalle [−4; 4]. et Ck représentatives des fonctions et k, (b) On admet que les développements en série de Fourier S h et S k associés respectivement

VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS 1. Distance entre deux nombres réels 1.1. Définition : On appelle distance ou écart entre 2 réels x et y, la distance sur la droite numérique entre les points d'abscisses x et y ; on la note d(x ; y). Exemples : Sur la droite réelle, on considère les points ci-dessous : A –4 On a alors : d(0 ; –4) = OA = 4 d(1 ; 3) = BC = 2 1.2. Cas particulier : La distance entre 0 et x est égale à : Autrement dit : d(–3 ; –4) = DA = 1 d(0 ; 3) = OC = 3 d(0 ; –3) = OD = 3 d(–3 ;

coordonnées (2 ; 7) appartient à Cf car f(2) = 7, mais pas le point de cordonnées (0 ; 2) car f(0) = -3 et –3 ≠ 2. Activité : Placer les points connus de Cf dans un repère orthonormé d’unité 1cm, et “imaginer” Cf. 1 Propriété : soit k un nombre réel (“constant”) : • L’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; k) pour x variant dans R est une droite parallèle à l’axe des abscisses (on dit souvent “horizontale”) qui a pour équation y = k et qui représente une fonction dite “constante”

(a+b\2=*+Zab+t (2x+39)2 =(2x)2+2 (2x)(3al + Qg,)z = 4Ê + t2xy +9gf (2x - 3g\2 = (2x12 2 (2x[3y) + (39)2 =4*-lZxg+9y2 C.û6 drne (a - b )2 =eiz 2ab+ B *ffi ng-*-r-":-{'r.,iâddi (a+b)(a-b)=*-t (2x+3s',(2x- -(41' - (lv)2 3s) =4* -gA2 o Les propriétésdes nombres réels (a+b\+c=a+c+b+c (a-b)+c=a+c-b+c et la règle de la division de monômes. a.t'n-bi,=l** b+o permettent d'effectuer des divisions d'un polynôme par un monôme. Ex.; Le quotientA(x) du polynômeA(x) = 1SÀ1-9.É + 72* parle monômeB(x)

Bases en algorithmique www.mathmaurer.com – Cours – 1ère S I – Déclaration de variables Déclarer nouvelle variable (instruction AlgoBox) Variables n1, taux, x22 : nombre ; 3 variables de type nombre prenom, nom : chaîne ; 2 variables de type chaîne de caractères tab : liste ; 1 variable de type liste (tableau à une seule ligne) II – Le corps de l'algorithme : instructions basiques 1 – Lire une variable Exemple: Ajouter LIRE variable (instruction AlgoBox) ... Lire nom ; affiche une boîte de dialogue

candidats) Partie A On considère le polynôme P défini sur C par : √ √ √ P (z) = z 3 − 2 + i 2 z 2 + 2 1 + i 2 z − 2i 2. √ 1. Montrer que le nombre complexe z0 = i 2 est solution de l’équation P (z) = 0. √ 2. a) Déterminer les réels a et b tels que P (z) = z − i 2 (z 2 + az + b). b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0. Partie B − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O, →, − ). On prendra 2 cm pour unité u v graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes

2-Nombres_complexes.nb 1 § 2 Nombres complexes Ce deuxième paragraphe est une partie consacrée aux fondements mathématiques. § 2.1 Le corps des nombres complexes ü Extensions successives Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans aε , bε x = a+b ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 1 + x = 0 et x ε est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée , dans laquelle l'équation précédente possède

COMMENT DETERMINER L’ENSEMBLE DE DEFINITION D’UNE FONCTION ? S’il n’est pas donné dans l’énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de définition de la fonction à étudier. Ce peut être ℝ , un intervalle, ou une réunion d’intervalles. 1) Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ . 2) La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies