Nombre complexe

d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons linéaires de termes en et , dont on connaît une

la difficulté de chaque problème en lui affectant un nombre d’étoiles compris entre zéro (très facile) et quatre (très difficile). Attention, dans un problème coté à trois étoiles (difficile), s’il est très progressif, les premières questions peuvent être, malgré tout, relativement faciles. N Bon courage ! Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers .

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati`res e 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´els et complexes e Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´els . . . . . . . . . . . . . e Densit´ des rationnels et irrationnels e Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 11 11 13 15 15 16 17 17 17 18 18 19 21 21 23 28 29 33 34 39 39 41 42 44 47 48 50 55 55 55 59 61 . . . . . . . . . .

Nombres complexes 2ème partie II] Forme trigonométrique 1. Module d'un nombre complexe • Si le point M est l'image du complexe z = a + bi ( a ∈ IR , b ∈ IR) dans le plan complexe ! , on appelle module de z, noté z , la distance OM z = OM = a² + b² ou z n = zz ; |z + z'| ≤ |z| + |z'| • Propriétés : |z| = 0 ⇔ z = 0 ; n |zz'| = |z|.|z'| ; z = z Pour z' non nul : |- z| = |z| ; z=z z 1 1 z' z et = = = z' z' z' ² z' z' Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z|

assignée, lui affecter son nom écrit entre deux accents aigus : > nom:='nom':nom; On peut aussi utiliser la fonction evaln (évaluer en un nom) : > var:=evaln(var):var; LES CONSTANTES: true , false (valeurs booléennes vrai , faux) , I (complexe de carré -1) , Pi (nombre pi) , infinity (plus l'infini) sont des constantes MAPLE. E (base des logarithmes népériens) n'est pas une constante MAPLE : faire exp(1). > eval(exp(1))=evalf(exp(1)); LES EXPRESSIONS: Elles sont évaluées de la gauche vers la droite

unknown file:///C:/Documents%20and%20Settings/lucie/Mes%20documents/Ar... COMPLEXES I) Définition 1) Forme algébrique Soit un point M du plan de coordonnées (x, y), l'affixe de M est le nombre complexe z=x+iy où i est le nombre imaginaire qui vérifie L'ensemble des nombres complexes est noté . ) . x+iy est la forme algébrique de z. (avec x et y x est la partie réelle de z : on la note x=Re(z) y est la partie imaginaire de z : on la note y=Im(z) z est aussi l'affixe du vecteur Exemple :

ematiques Fondamentales G. Chiavassa, T. Le Gouic, J. Liandrat, T. Luks, M. Roche, F. Schwander Nom de l’enseignement : Cours et TD Code enseignement : MAT-1 1`ere ann´ee 2014/2015 Chapitre 1 Analyse Complexe L’objectif de cette partie du cours est l’´etude des fonctions de variable complexe z ∈C I . Nous verrons que ces fonctions poss`edent des propri´et´es tr`es particuli`eres qui n’existaient pas pour les fonctions de la variable r´eelle. Le champ d’application de cette th´eorie est immense

lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053973-4 Table des matières 1. Les nombres réels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 1 1 3 5 6 5. Dérivation Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 59 59 62 66 67 2. Les nombres complexes Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 11 11 14 18 19 6. Intégration

limites. e 10) Suites r´elles et complexes. e 11) Suites adjacentes (ou suites d’intervalles emboˆ es). ıt´ Le paragraphe 12) suivant sera trait´ en T.D sur des exemples dans la mesure e du temps disponible. Il n’est pas strictement au programme de l’unit´: e 12) Suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est d´croissante. e u e En revanche le paragraphe 13) qui suit est fondamental: 13) Suites: un+1 = f (un ), o` f est contractante. u 0) Propri´t´s du corps IR des nombres r´els. e e e Intuitivement, l’ensemble

Nombres réels et complexes I. Nombres réels Weierstrass (1863) et Dedekind (1872) furent les premiers à proposer une construction satisfaisante de ℝ ... que nous ne présenterons pas. Parmi les nombres réels, ceux qui s’écrivent comme rapport de deux entiers sont dits rationnels, ils forment l’ensemble ℚ . Les autres sont dits irrationnels. 1°) Opérations dans ℝ ℝ est muni de deux opérations + et × i.e. de deux applications : ℝ×ℝ → ℝ ℝ×ℝ → ℝ et . (x , y ) ֏ x + y (x , y ) ֏ x ×y Propriétés