Nombre premier

ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser des algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus. Fractions irréductibles - définition Définition : Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Exemple 1 : 12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux. Donc 12/35 et

86)/2 S7=15.54/2=7.77 U71=326 et a=2 U70=U0+70x2 Un+1=Un+nxa U70=184+140=324 U71=U0+71x2 326=U0+142 U0=326-142 U0=184 S71=71x(U0+U70)/2 S71=71x(184+324)/2 S71=71x508/2 S71=36068/2=18034 Exercice 5 1.Les nombres 6 12 18 peuvent etre les trois premiers termes U0, U1, U2 d’une suite arithmétique. En effet pour passer de 6 à 12 on rajoute 6(6+6=12) et de même pour passer de 12 à 18(12+6=18). La suite (Un) est donc bien une suite arithmétique de raison a=6 Ainsi Uo=6 donc U1=U0+a

Suite arithmétique Aller à : Navigation, rechercher 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… La suite des nombres impairs est arithmétique de raison 2. En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (par exemple de nombres) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison. Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque indice n : Cette relation est caractéristique de la progression arithmétique ou croissance linéaire

Brevet des collèges Amérique du Nord 7 juin 2011 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. A CTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l’ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu. 1. Leslie a écrit le calcul suivant : 11 × (2 × 9) Jonathan a écrit le calcul suivant : 102 + 2 a. Effectuer les calculs

SUITES NUMERIQUES I Raisonnement par récurrence Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme

existe une infinit´ de nombres premiers congrus ` 1 modulo 4. e a Solution 3 Il s’agit encore de faire une preuve “` la Euclide”, mais plus fine que dans d’autres cas. On raisonne a par l’absurde et on suppose qu’il existe un nombre fini de tels nombres premiers que l’on note par ordre croissant p1 , . . . , pn . On consid`re P = (pn !)2 + 1. Alors aucun des pi ne divisent m, pourtant un des diviseurs premiers de e P est congrus ` 1 modulo 4. En effet, soit p 3 un nombre premier qui divise n2 + 1. Alors

= 0, 2 ⇐⇒ p 1 = 0, 1. 1 On en déduit aussitôt que r = 0, 1 et finalement : p 1 = 0, 1, p 2 = 0, 2, p 3 = 0, 3, p 4 = 0, 4. 2. a. La probabilité d’obtenir dans l’ordre 1, 2, 4 est p 124 = 0, 1 × 0, 2 × 0, 4 = 0, 008. b. Les tirages donnant trois nombres distincts croissants sont : (1, 2, 3), (1, 2, 4) , (1, 3, 4) et (2, 3, 4). La probabilité d’avoir l’un de ces tirages est donc : p 1 ×p 2 ×p 3 +p 1 ×p 2 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 +p 2 ×p 3 ×p 4 = 0, 006+0, 008+0, 012+0, 024 = 0, 05. 3. a. On a un schéma

÷ 4 2 2 . 13 Exercice 2 a2 + 3ab2 − ac − bc Calculer la valeur numérique de l’expression quand on donne à a la valeur 2, à b la 2abc3 valeur − 1 et à c la valeur −1. 3 Exercice 3 En exprimant les nombres 75, 72 , 35 et 27000 sous forme de puissances des nombres premiers 2, 3, 5 et 75 × 72 × 35 7, calculer . 27000 Exercice 4 √ √ a) Calculer ( 3 + 12)2 . √ b) Montrer que 3 − 5 > 0. Exercice 5 a) Développer le polynôme (3x + 2)(x − 3). b) Factoriser les polynômesf (x) =

appartient au cercle circonscrit au triangle ACD. e 0,25 pt x 4 0,5 pt EXERCICE 2 (4 points). On rappelle la propri´t´ connue sous le nom de petit th´or`me de Fermat : ”Si p est un ee e e nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors ap−1 ≡ 1[p].” 1. a) D´montrer que 193 est un nombre premier. e b) Soit a un entier naturel inf´rieur a 192. Montrer que a192 ≡ 1[193]. e ` 2. On consid`re l’´quation e e (E) : a) V´rifier que le couple (155, 67) est solution de (E). e b) R´soudre l’´quation

directement que pour tout entier naturel n , wn1  wn  2 . La suite ( ) est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme . d) Cet algorithme détermine le rang du premier terme de la suite ( ) inférieur ou égal à 0,000001. Il renvoie . e) L’algorithme ci-contre détermine le plus petit entier n1 tel que wn  10000 DEVOIR MAISON N°1 (correction) 1.  On considère la suite de nombres  un  définie par : u0  1 , u1  1 1 et pour tout entier naturel n , un  2  un 1  un 2 4