Orthogonalité

année 189 161 Applications linéaires 1re année et 2e année 60 165 Polynômes annulateurs 192 2e année 61 170 172 175 Espaces préhilbertiens 194 2e année Applications linéaires particulières 1re année 62 63 64 65 Orthogonalité 2e année 199 54 55 56 57 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 203 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 204 Changements de bases 178 1re année Systèmes

° Attention ! Muni du produit scalaire défini ci-dessus, C [0, 1], R n’est pas un espace euclidien car ce n’est pas un R-espace vectoriel de dimension finie. C’est seulement un espace préhilbertien réel. 3 c Christophe Bertault - MPSI Orthogonalité 2 2.1 Vecteurs unitaires et orthogonaux Définition (Vecteur unitaire, vecteurs orthogonaux) Soient E un espace préhilbertien réel et x, y, x1 , x2 , . . . , xn ∈ E. • On dit que x est unitaire (ou normé) si x = 1. • On dit que x

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE 1° Liens avec la norme d'un vecteur → → Soit u un vecteur du plan de coordonnées (x,y). On définit la norme d'un vecteur u par : → →2 →2 → → u = u = x 2 + y2 On peut alors écrire : AB 2 = AB = AB . AB 2° Orthogonalité → → On dit que deux vecteurs u et v non nuls sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires, ce qui se traduit avec le produit scalaire par : → → u.v =0 → → Si u et v sont deux vecteurs du plan de coordonnées (x , y) et

notions et les r´sultats par de nombreuses figures. e 1- Espaces pr´hilbertiens r´els e e L’objectif est de consolider et approfondir les notions de base abord´es en classe de premi`re ann´e : produit e e e scalaire, norme et distance associ´es, orthogonalit´, sous-espaces suppl´mentaires orthogonaux, projecteurs e e e orthogonaux, sommes directes orthogonales. a) Formes bilin´aires sym´triques e e Espace vectoriel des formes bilin´aires sym´triques sur e e un R-espace vectoriel E. Espace vectoriel

structurelle. Il s’agit de simples descriptions permettant de rendre compte de la variance de la série, sans relation avec un quelconque modèle économique. À des fins de modélisation, on est amené à caractériser les composantes et en postuler leur orthogonalité. En d’autres termes, les chocs agissant sur le profil d’évolution de la tendance sont supposés indépendants de ceux qui influencent la composante saisonnière. La désaisonnalisation de la série consiste alors à estimer la composante inobservable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 . 81 . 83 . 84 . 85 . 87 . 88 . 89 . 94 . 99 . 99 . 100 7 Produits scalaires généralisés 7.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Angles et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Angle formé par deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Bases orthogonales et méthode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . 7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

année 197 169 Applications linéaires 1re année et 2e année 62 173 Polynômes annulateurs 200 2e année 63 178 180 183 Espaces préhilbertiens 202 2e année Applications linéaires particulières 1re année 64 65 66 67 Orthogonalité 2e année 207 56 57 58 59 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 211 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 212 Changements de bases 186 1re année Systèmes

. . . . . . . . . . . . . . 81 . 81 . 83 . 84 . 85 . 87 . 88 . 89 . 94 . 99 . 99 . 100 7 Produits scalaires généralisés 7.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Angles et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Angle formé par deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Bases orthogonales et méthode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . 7.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

sur le côté, ils doivent alors remettre une baguette à la verticale. • individus placés dans un fort degré d’inclinaison (entre 60 et 90°) : baguette ( confusion entre l’axe égocentré et l’horizontale, et par l’ « orthogonalité », confusion de la verticale. ( sous estimation de la verticale ( effet Aubert. Comme l’individu se croit à l’horizontale, il ne ramène pas assez la barre à la verticale, sous estimation d’environ 30°. • inclinaison plus faible ( < 60°)

d´fini par le produit scalaire e e p d2(u, v) = j=1 mj (uj − vj )2 √ mj u, v M = u Mv = j=1 mj uj vj . Utiliser ce poids est ´quivalent ` multiplier la coordonn´e j par e a e On notera que u 2 M = u, u M. M Orthogonalit´ on dit que u et v sont M-orthogonaux si u, v e = 0. Cours d’analyse de donn´es — Jean-Marc Lasgouttes — ann´e 2011-2012. e e 30 Cours d’analyse de donn´es — Jean-Marc Lasgouttes — ann´e 2011-2012. e e 31 Propri´t´s du produit