Orthogonalité

Orthogonalité Niveau : Tle S Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition

Parallélisme et orthogonalité dans l'espace A. Parallélisme dans l'espace 1- Droite parallèle à un plan Pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il suffit qu'elle soit parallèle à une droite du plan. Hypothèses : d' - la droite d est incluse dans le plan P - les droites d et d' sont parallèles d P Conclusion : La droite d est parallèle au plan P. 2- Plans parallèles Pour que deux plans soient parallèles, il suffit que l'un d'entre eux contienne deux droites sécantes parallèles à l'autre. Hypothèses

RABAT http://www.fsjesr.ac.ma ‫– اآ ال‬ ‫د‬ ‫وا‬ ‫ط‬ ‫ا‬ ‫ما‬ ‫وا‬ ‫اا‬ ‫ا‬ ‫آ‬ Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module Matière : : : S4 M 16 (Méthodes Quantitatives IV) Algèbre II CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE CHAP TRE 2 : I- Produit scalaire dans et Espace euclidien ........................................................... 2 I-1 Définitions .......................................................................................................

• Parallélisme dans l'espace o Définitions o Parallélisme entre droites o Parallélisme entre plans o Parallélisme entre droite et plan • Orthogonalité dans l'espace o Définitions o Orthogonalité d'une droite et d'un plan o Orthogonalité de deux droites de l'espace o Plans perpendiculaires • Vecteurs de l'espace Généralités La géométrie élémentaire de l'espace est née du souci d'étudier les propriétés

parall`les. e d P d1 d1 Q 4.4 Parall´lisme entre droite et plan e d Th´or`me 7 Si une droite d est parall`le a une droite d , alors e e e ` la droite d est parall`le a tout plan P contennant la droite d . e ` d P 5 Orthogonalit´ dans l’espace e 5.1 D´finitions e D´finition 2 Deux droites d et ∆ (non n´cessairement e e coplanaires) sont orthogonales si les parall`les a ces deux e ` droites men´es par un point I quelconque sont perpendiculaires. e ( Nous

que : ∀k ∈ {0,1,..., n − 1}, Tn(ck +1) = −Tn(ck ) . Les n + 1 réels c0 , c1 ,..., cn sont appelés points de Tchebychev. c) Dessiner le graphe de T3 , préciser sur le graphe les réels c0 , c1 , c2 , c3 . II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité Orthogonalité des Tn 4. Montrer que pour toute fonction h de E, l’application t " f (t ) g (t ) 1− t2 h( t ) 1− t2 est intégrable sur ]-1,1[. Pour f et g éléments de E, on pose f , g = ∫ 1 −1 dt. 5. a) Soit h une fonction positive

tr(t AB) ; sur C 0 ([a, b], R), (f, g) = 1.3.2 Norme et distance euclidienne b a fg Inégalité de Minkowski, cas d'égalité 1.4 Orthogonalité (E, ( | )) phr 1.4.1 Dénitions Vecteurs orthogonaux, famille orthogonale, orthonormale Un système orthonormal est libre(démo) Th de Pythagore 1.4.2 Sous-espaces orthogonaux Dénition : orthogonalité de 2 sev, supplémentaires orthogonaux Si F est un sev de E , l'orthogonal de F est F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F (x|y) = 0} ; c'est un sev de E F

CHAPITRE VI 1°) Vecteurs orthogonaux. ORTHOGONALITE DANS LE PLAN Définition. ρ ρ ρ ρ Soit u et v deux vecteurs non nuls et A, B et C trois points tels que AB = u et AC = v . ρ ρ On dit que u et v sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. ρ ρ ρ ρ On note : u ⊥v et on lit u est orthogonal à v . Exemple : Soit ABCD un carré de centre O. Les vecteurs AB et AD sont orthogonaux, on écrit AB⊥ AD . De même OC⊥OD , OA⊥ BD. Contre-exemple : les vecteurs DB et DC ne sont

que si ⃗u= ⃗0 ou ⃗v = ⃗0 , alors ⃗u .⃗v =0 Propriété 3 : Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls et colinéaires. Alors : – Si ⃗u et ⃗v sont de même sens, alors ⃗u .⃗v =∥⃗u∥×∥⃗v∥ – Si ⃗u et ⃗v sont de sens contraires, alors ⃗u .⃗v =−∥⃗u∥×∥⃗v∥ 2. Orthogonalité Définition 3 : Dire que deux vecteurs ⃗u par ⃗v sont orthogonaux signifie que l'un des deux est nul ou que les droites portées par ces vecteurs sont perpendiculaires ; - soit ⃗u = ⃗0 ou ⃗v = ⃗0 ; ⃗ et ⃗ ⃗ avec ⃗ u et ⃗ v distincts de ⃗ - soit si

= II u II + 2 u . v + II v II  →  2 →  2 →  →  →  2 → II u – v II = II u II – 2 u . v + II v II  →  →  →  →  2 →  2 → ( u + v ). ( u – v ) = II u II – II v II  →  →  →  → → → 2  → 2  →  →  → 2 3 Orthogonalité Définition A5 Vecteur normal à une droite Un vecteur normal à une droite δ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de δ . Théorème A2 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire