Orthogonalité

trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 11 11 11 12 13 14 14 14 14 15 16 16 16 16 17 18 19 19 21 22 22 24 24 24 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Analyse 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dérivées et

ELEMENTS DE CALCUL VECTORIEL ET TENSORIEL 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 Espace euclidien Points et vecteurs Produit scalaire, distance, orthogonalité Base de V Expression du produit scalaire Tenseurs du deuxième ordre Produit dyadique Composantes cartésiennes d'un tenseur du deuxième ordre Produit tensoriel Transposé d'un tenseur Tenseurs symétriques et antisymétriques Trace d'un tenseur Produit

r´soudre (4.25) on se rappellera que (4.22) est en fait la forme “faie ble” de (4.11) qui appelle un traitement avec des fonctions test. Soit donc eh ,...,eh h une base de Xh . Nous ne supposerons rien d’autre sur les fonctions 1 N eh (normalisation, orthogonalit´, ...). e k A cause de la lin´arit´ de a et l il s’ensuit que (4.25) est ´quivalent ` e e e a Trouver uh ∈ Xh tel que a(uh , eh ) = l(eh ) pour tout k = 1, ..., Nh . k k (4.32) Comme uh ∈ Xh on le cherche sous la forme uh = Nh ch eh . En invok=1

José Jornet a suivi. Robert Llimós 1943, Barcelone (Espagne) Gallo rojo (coq rouge) mars 1983 Acrylique sur toile 168 x 183 cm Quel rapprochement incongru et glaçant ! L'artiste crée une relation bien inquiétante, prenant appui sur une orthogonalité accentuant toute la raideur et le côté mortifère de la scène. La composition, équilibrée, basée sur la symétrie, jouant de l'opposition entre verticalité et horizontalité, impose son statisme. Le seul élément dynamique est introduit par la vivacité

= x n e−x d x 0 Problème 8.3 Théorème à propos des polynômes Etablir que si Q N (x) est un polynôme quelconque de degré N et { pn } la base de polynômes orthogonaux dans L2 (a, b) alors w (Q N , pk ) = 0 ∀k > N Problème 8.4 Orthogonalité et équation différentielle Chacune des quatre familles de polynômes définies dans le problème précédent est issue d’une équation différentielle du second ordre de la forme s(x)y + q(x)y + ln y = 0 (8.2) 199 Chapitre 8 • Fonctions orthogonales

on peut tout regrouper dans dix grandes catégories de valeurs. Non seulement ces valeurs existent sous une liste, structurée, mais c’est un modèle circumplex (chaque valeur est voisine avec deux autres, et est { l’opposée d’une autre valeur). o Orthogonalité en bleu. Au dessus de dix valeurs, on peut dire que les facteurs sont organisés par des axes orthogonaux bipolaires. En vert : Conservation (importance pour que l’ordre règne, que les choses restent telles qu’elles sont) vs. Valorisation de l’ouverture

168 22.1 Intégrale de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 22.2 Somme des inverses des carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 23 Produit scalaire dans l’espace 170 23.1 Orthogonalité de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 23.2 Propriétés du tétraèdre régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 24 Systèmes linéaires 171 24.1 Calculs d’entrainement . . . . . . .

M´thodes de construction de syst`mes bonus-malus en RC Auto e e 11 on peut interpr´ter les ´quation de vraisemblance (2) comme une relation d’orthogonalit´ ene e e tre les variables explicatives xit et les r´sidus d’estimation nresit . Cette orthogonalit´ peut e e s’interpr´ter comme une “ind´pendance” entre les r´sidus d’estimation et les variables explicae e e tives, signifiant que les variables explicatives n’ont aucun pouvoir pr´dictif des r´sidus nres it . e e Comme les facteurs de risque en

CB) = π + 2k π. C ∈ AB  ⇔ B Propriété 7 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si : ( AB, CD) = 0 + 2k π ou ( AB, CD) = π + 2k π. A B D C b. Orthogonalité Propriété 8 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si : π AB, CD = + 2k π 2 π ou AB, CD = − + 2k π. 2 ( 58 © Cned - Académie en ligne Séquence 4 – MA12

notions d’arrangement, de permutation, vecteurs, multiplier un vecteur par un nombre réel ; de combinaison ; • définir le produit scalaire dans la base canonique • résoudre des problèmes faisant intervenir, (norme, distance, orthogonalité, angle) ; simplement, les notions d’arrangement, de • construire, reconnaître et utiliser les équations des permutation et de combinaison ; droites (parallélisme, perpendicularité). TROISIEmE ANNEE - NIVEAU AVANCE Le programme s’articule