PGCD de nombres entiers

L’aiguille de Buffon C’est en 1777 qu’a lieu la première apparition inattendue du nombre π en calcul des probabilités. Le comte Leclerc de Buffon (plus connu comme naturaliste) soulève le problème suivant : « si on lance une aiguille de longueur ℓ sur un parquet dont les lames sont de largeur a , quelle est la probabilité p pour que l’aiguille tombe à cheval sur 2 lames ? ». Vocabulaire Pour résoudre ce problème, adoptons un vocabulaire probabiliste : • • • • un lancer d’aiguille est appelé expérience

solutions de (x − 2)(x − 3) = 0 −(−1 − 6) nombre premier pair nombre de faces d’une pyramide a ` base triangulaire 4 4 nombre d’axes de sym´trie e d’un rectangle √ dernier chiffre 23 10 − 17 + 11 nombre de faces d’un cube num´rateur e de la fraction irr´ductible e ´gale e a ` 9261 33957 √ 324 2 270 nombre de solutions de x2 = 3 PGCD 11760 2574 de et √ √ 1+ 4 10−2 0, 01 num´rateur e 7 − de 4 1 5 3 + − 2 8 4 nombre d’axes de sym´trie e d’un triangle ´quilat´ral

Définition : a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul. a n désigne le produit de n facteurs égaux à a : a n = a × a ×…× a n facteurs Attention : Ne pas confondre !!! (–5) 4 = (–5)× (–5)× (–5)× (–5) = + 625 –5 4 = –5×5×5×5 = – 625 Définition : a désigne un nombre relatif non nul. n désigne un entier non nul. a -n désigne l’inverse

informatique, on va avoir en permanence besoin de stocker provisoirement des valeurs. Il peut s’agir de données issues du disque dur, fournies par l’utilisateur (frappées au clavier). Ces données peuvent être de plusieurs types : elles peuvent être des nombres, du texte, etc. Dès que l’on a besoin de stocker une information au cours d’un programme, on utilise une variable. Déclaration des variables La première chose à faire avant de pouvoir utiliser une variable est de créer la boîte et de lui coller

coordonnées du point C de Ꮿ d’abscisse 2. C. On sait que pour x ! 6- 3 ; 1@, f ^ x h = x2 - 4 . 1. Donner la valeur exacte de f c- 2 m . 3 2. Donner les antécédents de 5 par f sur l’intervalle 6- 3 ; 6 @. 7 On s’intéresse à l’évolution du nombre d’abonnées Internet depuis 2001. Les résultats pour chaque début d’année de 2001 à 2010 sont consignés ci-dessous, les résultats étant arrondis à 0,01 million près : 6 À un instant donné, le taux d’alcoolémie (en g.L-1) correspond à la quantité

Numération La décomposition en facteurs premiers permet de trouver tous les diviseurs d'un nombre entier. Système de numérotation positionnelle de base A : (X)A=XA=XA Pour savoir si un nombre n est premier, il suffit d'essayer de le diviser par tous les nombres premiers inférieurs à n. Calcul du PGCD : décomposition en facteurs premiers (produit des facteurs communs élevés à la plus faible puissance), utilisation de la propriété PGCDp;q=PGCDq;p-q, Algorithme d'Euclide (division euclidienne successive

sous la forme d’une fraction irréductible puis B sous la forme a 3 : 5 11 33 A= + ÷ B = 2 27 – 5 12 – 75 4 4 20 EXERCICE 2 : 1/ 2/ Calculer le PGCD des nombres 110 et 88. Un ouvrier dispose de plaques de métal rectangulaires : L = 110 cm et l = 88 cm ; il doit découper dans chaque plaque des carrés tous identiques : la mesure du côté est un nombre entier de centimètres, le plus grand possible, de façon à ne pas avoir de perte. Quelle sera la mesure du côté de chaque carré ? Combien obtiendra-t-il

(modulo 7) 750 = 6 × 125 donc 5750 ≡ (56 )125 ≡ 1125 ≡ 1 (modulo 7) donc 5750 − 1 est un multiple de 7 . PROPOSITION VRAIE. 4. Par soustractions successives, on obtient : PGCD(3n+4; 4n+3) = PGCD(3n+4; n−1) = PGCD(2n+5; n−1) = PGCD(n+6; n−1) = PGCD(7; n−1). Or, si n est congru ` 1 modulo 7 alors n − 1 est un multiple de 7 donc PGCD(7; n − 1)=7. a PROPOSITION VRAIE. 5. Ecritures complexes des transformations : s:z→z et sA : z → −z + 2 a. Donc s ◦ sA : z → −z + 2 a et sA ◦ s : z → −z + 2 a Donc s ◦ sA

l'algorithme de chiffrement connu sous le nom de RSA des noms des ses auteurs : Ron Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Le chef du réseau choisit deux nombres premiers p et q puis calcule leur produit n . Il choisit ensuite un entier naturel e tel que PGCD  e ,  p − 1   q − 1  = 1 . Il diffuse la clef publique { n ; e } . La clef privée est un entier naturel d tel que de ≡1 [  p − 1   q −1  ] 1) La clef publique. On choisit p = 53 et q = 79 . • Vérifier que p et q sont premiers. • Calculer n

écrire chacune des expressions A, B et D sous forme de fractions irréductibles puis donner l'écriture scientifique de C. 6 3 90 100 105 120 Durée en minutes Nombre de coureurs 4 2 Synthèse en statistiques, proportionnalité Quinze amis ont participé à un semi-marathon (course à pied de 21 km). Durée (en min) | 90 | 100 | 105 | 120 | Effectif | 2 | | |