PGCD de nombres entiers

............................................................................. 3 Chapitre I : Calcul algébrique (rappels) .......................................................................................................... 4 Chapitre II : Entiers : arithmétique ................................................................................................................... 6 Chapitre III : Développements - factorisations - identités remarquables.........................................

TOUT CE QU’IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET NUMERIQUE / FONCTIONS Ceci n’est qu’un rappel de tout ce qu’il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par ordre décroissant dans un calcul sont : 1) les crochets 2) les parenthèses 3) la multiplication et la division 4) l’addition et la soustraction Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. Pour multiplier deux fractions, il faut multiplier les

1. Calculer, sous la forme sa plus simple, l’expression du nombre A tel que 2. Donner l’écriture scientifique puis décimale du nombre B tel que : 3. Ecrire sous la forme (où a est un entier) le nombre C tel que : 4. Développer et simplifier le nombre D tel que : 5. Déterminer le nombre E qui est la solution de l'équation : 6. 7. En utilisant la méthode de votre choix, calculer F qui est le PGCD des nombres 315 et 300. Montrer alors que : Exercice 2 : On donne l’expression

. 29 Généralités Relation d’ordre Relation d’équivalence L’ensemble Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 30 4 Nombres complexes 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations

Grèce antique (premier algorithme est la division Euclidienne découverte par Euclide en –300 avant JC. Elle permet de déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux entiers). Une définition reconnue : une suite finie d’instructions décrivant un traitement sur un nombre fini de données structurées qui se terminent par un nombre fini d’opérations en vu de l’obtention d’un résultat. Exemple : Pour faire des endives au jambon (ce passage est interdit aux mineurs et fortement déconseillé aux

étrangers juin 2012 EXERCICE 1 4 points On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. − − → → − → On se place dans le repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE . 2 3 1 On considère lespoints I 1 ; ; 0 , J 0 ; ; 1 , K ; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à 3 3 4 l’intervalle [0 ; 1]. E H F G A D B Les parties A et B sont indépendantes. Partie A C 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). 2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation

Equations, inéquations, systèmes d’équations linéaires 5) Etude de fonctions 6) Intégration 7) Applications et bijections. Bijection réciproque 8) Logarithme et exponentielle 9) Suites numériques 10) Notions de combinatoire 11) Division euclidienne, pgcd et algorithme d’Euclide Mathématiques et informatique La caractéristique de ce cours est de lier l’informatique et les mathématiques. Dans chaque chapitre, des programmes informatiques sont donnés, qu’il conviendra de tester et d’assimiler

travail sur un groupe cyclique d'ordre (Zp) avec un générateur g. – Alice tire au hasard un nombre x entre 0 et p1. C'est sa clé privée. – Alice calcule y = g^x. Sa clé publique est donc (p,g,y) Cryptographie asymétrique - ElGamal ● Chiffrement – On chiffre avec la clé publique du destinataire – On convertit le message m vers m' un élément du groupe Zp – On tire un nombre aléatoire h et on calcule s=y^h. – On calcule c1=g^h et c2=m'.(y^h) – Le chiffré

points) On donne : A= 7 4 5 − × 3 3 6 B= 6 × 103 × 28 × 10−2 14 × 10−3 √ √ √ C = 4 28 + 2 63 − 6 7 1) Calculer A sous la forme d’une fraction irréductible. 2) Calculer B en écriture scientifique. √ 3) Calculer C sous la forme a 7 où a est un nombre entier. Exercice no 2 (4 points) Voici la représentation graphique d’une fonction f . 1 0 1 1) Quelle est l’image de 2 par la fonction f ? 2) Quelle est l’image de −1, 5 par la fonction f ? 3) Donner une valeur approchée d’un antécédent de 2 par

ex + y . 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice