PGCD de nombres entiers

3ème Devoir maison n° 1 : Correction I - Activités numériques (12 points) Exercice 1 1) 2)B est bien un nombre entier. 3) A n'est pas l'opposé de B mais son inverse. 4) 5) Exercice 2 1) 2) 3) Pour x = -4 Exercice 3 La différence 50,50 – 35,50 = 15 donne le prix d’entrée pour six enfants. Le prix d’entrée pour un enfant est donc : 15 : 6 = 2,50 La visite pour un enfant est 2,50 €. Le prix d’entrée pour sept adultes est

compris entre 1 et 100. En effet, il faut un nombre pair de changements d’état donc un nombre pair de diviseurs positifs autres que 1, c’est-àdire un nombre impair de diviseurs. Toute décomposition d’un entier en produit m ¥ n procure deux diviseurs distincts sauf dans le cas où m = n. Les seuls entiers strictement positifs ayant un nombre impair de diviseurs sont donc les carrés parfaits. 2 Le roi de la divisibilité ! Voir programmes sur le site Math’x. Le nombre maximal de diviseurs est 12, atteint la

correspondant : a) X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2 b) X − 2 | X 3 − 3X 2 + 3X − 2 c) X + 1 | X 3 + 3X 2 − 2. [ 02133 ] Exercice 3 a) Pour n ∈ N, développer le polynôme [ 02377 ] (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 ) b) En déduire que tout entier p > 0 s'écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . . . n Exercice 10 Soit P = n k=0 [ 02134 ] ak X k ∈ K [X]. a) Montrer que P − X divise P ◦ P − P . b) En déduire que P − X divise P ◦ P − X . Exercice

Dans l'expression d'un algorithme, il n'est pas nécessaire de faire appel à un langage de programmation, le langage courant suffit. Ex : Détermination de la parité d'un nombre entier - Demander à l'utilisateur de taper un nombre entier - Lire ce nombre - S'il est pair, afficher "Nombre Pair" sinon afficher "Nombre Impair". Un organigramme constitue une expression graphique d'un algorithme. On y distingue trois types d'éléments : - Les suites d'instructions, dites séquentielles

pt 2. Calculer en détaillant les quatre cinquièmes de . On appellera C le résultat donné sous la forme d’une fraction la plus simple possible. C = 45 × 358= 4 ×7 ×55 ×4 ×2 = 72 1 pt 2. Montrer que la somme A + B + C est un nombre entier. 112 + 512 + 72 = 1+5+4212= 4812=4 1 pt 4. En faisant apparaître les étapes, calculer et donner l’écriture scientifique de : D = 2 ×103 × 5 × 10-5²2+18 = 1020 ×103 × 10-10= 12 × 10-7=0,5 ×10-7=5 × 10-8 1 pt Exercice

Dérivation Exercice 3 Résoudre les équations suivantes : a) P ′ 2 = 4P d’inconnue P ∈ K [X ] b) (X 2 + 1)P ′′ − 6P = 0 d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 4 Montrer que pour tout entier naturel n , il existe un unique polynôme Pn ∈ ℝ [X ] tel que Pn − Pn′ = X n . Exprimer les coefficients de Pn à l’aide de nombres factoriels. Exercice 5 Déterminer dans K[X ] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Soit P ∈ K [X ] . Montrer que P (X + 1) = ∑ Exercice 6 1 (n ) P (X ) . n

(12 points)  2ère partie : Activités géométriques. (12 points)  3ère partie : Problème. (12 points)  Partie numérique (12 points) Exercice 1  (4 points) 1. Écrire sous la forme m[pic] où m est un entier naturel : A = [pic] 2. Écrire sous la forme p + q[pic] où p et q sont des entiers relatifs : B = [pic] 3. Factoriser l'expression (on réduira l'écriture de chacun des facteurs): C = (4 t - 1)2 - 4 4. Développer et réduire : D = (2 y + 1)2 - (y + 5)( y - 1) Exercice

1)P (X). Montrer ∀k ∈ {0, . . . , n} , |ak | M (indice : employer des racines de l’unité) Exercice 3 [ 02377 ] [correction] a) Pour n ∈ N, développer le polynôme n (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 ) b) En déduire que tout entier p > 0 s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . . . Exercice 4 [ 02553 ] [correction] Soit (Pn )n∈N la suite de polynômes définie par P1 = X − 2 et ∀n ∈ N , Pn+1 = Pn2 − 2 Calculer le coefficient de X 2 dans Pn

alphabétiques (Nom & Prénom, Observations). D’après les connaissances que nous avons acquises les deux dernières années, nous pouvons utiliser 5 variables déclarées comme suit : 8 Objet Num Code Nom Moy Obser Type / Nature Tableau de 40 entiers Tableau de 40 chaînes Tableau de 40 chaînes Tableau de 40 réels Tableau de 40 chaînes Rôle Tableau des numéros des élèves Tableau des codes Tableau contenant les noms & prénoms Tableau des moyennes Tableau des observations Les enregistrements

Octobre 2012 3ème Devoir Maison – Bilan 3 chapitres Fractions, Puissances, Thalès, PGCD Exercice 1 – Brevet 2008 Sur la figure ci-dessus : les points K, A, F, C sont alignés ; les points G, A, E, B sont alignés ; (EF) et (BC) sont parallèles ; AB = 5 et AC = 6,5 ; AE = 3 et EF = 4,8 ; AK = 2,6 et AG = 2. 1. Démontrer que BC = 8. 2. Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre. 3. Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier. 4. Les droites