PGCD de nombres entiers

0,5)2 = 0,25 ; c. Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif donc le carré d’un nombre relatif est un nombre positif. 42 2 a. 3 et – 3. b. 1,42 = 1,96 ; 1,52 = 2,25 ; 1,412 = 1,988 1 ; 1,422 = 2,016 4 ; 1,4142 = 1,999 396 ; 1,4152 = 2,002 225. 1,414 213 5622 est un nombre décimal avec 18 chiffres après la virgule, le dernier étant égal à 4. Ce nombre n’est pas égal à 2. Donc c n’est égal à aucun de ces nombres. c. Le nombre négatif dont le carré est 2 est – 12.

On donne : x = 2− 3 y = 2+ 3 . 1) Montrer que x et y sont inverses. 2) Calculer ( x − y)2 . 3) En déduire x − y . 4) ABCD est un carré de coté 8 + 2 cm. a)Montrer que la longueur de sa diagonale est un entier naturel. b) Montrer que l’aire en cm de ce carré est un entier naturel. 5) Calculer le volume des solides suivants. Donner la valeur exacte pour chacun : a) Un cube d’arrête 2 6 cm. 6 cm et dont la b) Une pyramide dont la base est un carré de côté hauteur est de 18 cm. Exercice

......................................................................................... 155 partie b Géométrie ............................................................................................................ 177 chapitre 8. Nombres chapitre 9. partie c complexes ........................................................................................ 179 Géométrie dans l'espace ............................................................................... 199 Probabilités

2010-2011 Nombres Premiers Théorème de Dirichlet (1805-1859) Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile, les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est

. e L’attaque et le d´chiffrement . . . . . . . . . . . . e La d´compression et les pertes . . . . . . . . . . . e 1.1.6 Les d´fauts de ce code . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1.7 Ordres de grandeur et complexit´ des algorithmes e Taille des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . La vitesse des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . Taille et ˆge de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . a Complexit´ des algorithmes . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Codage par flot et probabilit´s . . .

Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11) 1. Nous savons que 82 ≡ −2 (11) , 83 ≡ 6 (11) 84 ≡ 4 (11)

Fractions (4ème ) Si a, b, c et d désignent des nombres tels que : b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0 , alors : a b = a÷ c = a×d c b d b c d a 1 = a × (diviser c’est multiplier par l’inverse) b b Priorité dans les calculs (5ème) Dans une suite de calculs sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. Dans une suite de calculs sans parenthèses ne comportant que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions),

. . . . . . . . . . 2.1.2 Les arguments d’un programme . . . . 2.2 Les m´ethodes de classes (ou statiques) . . . . 2.2.1 Etude d’un exemple . . . . . . . . . . 2.2.2 Commentaires dans un programme . . 2.2.3 Nombres en argument de programme . 2.2.4 Radiographie de la m´ethode pgcd . . . 2.2.5 Comment ¸ca marche ? . . . . . . . . . 2.2.6 Passage des param`etres par valeur . . 2.2.7 Coˆ ut d’un appel de m´ethode . . . . . 2.2.8 L’instruction return . . . . . . . . . . 2.3 Modularit´e .

n’existe pas de nombre rationnel r tel que r2 = 2. (0,75 pt) 2 En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que pour tous réels positifs a et b, on a : (0,75 pt) n √ a+ b ≤ n √ a+ n √ b, ∀n ∈ N. 3 Montrer que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗, E ( E(nx) n ) = E(x), où E est la fonction partie entière. (0,75 pt) 4 Montrer que √√ 2 + 2 est irrationnel. (0,5 pt) Correction 1 Supposons qu’il existe un rationnel r tel que r2 = 2. Par définition de Q, il existe a et b deux entiers naturels non nuls

1. Résoudre dans C l’équation :[pic]. (0,5 point) On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution. 2. a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2. (1 point) b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe [pic]. (0,5 point) 3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; [pic], [pic]) (unité : 1 cm), on considère le point M1 d’affixe [pic], le point M2 d’affixe [pic] et le point A d’affixe