PGCD de nombres entiers

Corrigé du Baccalauréat S 2. a. Pour tout entier naturel non nul n, f n est la composée de deux fonctions continues sur [0 ; +∞[ : Pour tout x de [0 ; 1], 0 x −→ 1 + x n et x −→ ln x donc f n est continue sur [0 ; +∞[. xn 1 donc 1 1 + xn 2. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc ln 1 ln (1 + x n ) ln 2. La fonction f n est continue sur [0 ; 1] et pour tout x de [0 ; 1], 0 f n (x) ln 2. 1 Donc pour tout entier naturel non nul n, 0 0 0 In x n+1 In

alcoolisées en peu de temps : Chapitre 1 • Exercices complémentaires 7 On s’intéresse à l’évolution du nombre d’abonnées Internet depuis 2001. Les résultats pour chaque début d’année de 2001 à 2010 sont consignés ci-dessous, les résultats étant arrondis à 0,01 million près : 1er janvier de l’année … 2001 2002 2003 Nombre d’abonnés Internet Haut Débit 0,20 0,60 1,66 (en millions) Nombre d’abonnés 5,28 6,39 7,47 Internet Bas Débit (en millions) 2005 2006 2007 2008 2009 6,56 9,47 12,7 15,9 17,65

euclidienne, pgcd et algorithme d’Euclide L’arithmétique consiste à travailler exclusivement avec des nombres entiers. Quand on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier, et de même en soustraction. Quand on multiplie deux nombres entiers, on trouve encore un nombre entier. Mais quand on divise ? En général, la division ne tombe pas juste, et le résultat n’est pas un nombre entier. On sait que diviser, c’est multiplier par l’inverse. Mais l’inverse d’un nombre entier n’est pas

Caractérisation[modifier | modifier le code] Si a est un nombre réel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal : 1.a admet un développement décimal limité ; 2.il existe un entier relatif m et un entier naturel p tels que a = \frac{m}{10^p} ; 3.on peut écrire a sous la forme d'une fraction irréductible \frac{b}{5^m \times 2^p}, où b est un entier relatif, et m et p des entiers naturels ; 4.soit a possède deux développements décimaux distincts

enx . – (ex )0 = 1 = e0×x . Donc P (0) est vraie. – Soit n, un entier, on démontre que la propriété se transmet de n à n + 1. On suppose que (ex )n = enx alors (ex )n+1 = (ex )n × ex = enx × ex = enx+x = e(n+1)x . – La propriété est vraie pour n = 0 et se transmet, pour tout n, de n à n + 1, donc la propriété est vraie pour tout n : pour tout entier naturel n, (ex )n = enx . Partie B On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par : 1 un = 1 1. a. u0 + u1 = 0 Par

calculs suivants et donner les résultats sous forme décimale puis sous forme scientifique : C = 15 ( 10 ( 8 ( 3 ( 10 5 D = ; 15 ( 10 ( 4)) exercice 3 (3,5 points) En indiquant les différentes étapes, calculer les nombres suivants et donner le résultat sous la forme d’un entier relatif ou d’une fraction irréductible : E = + ( F = ;3 )) G = + 1) ( 1) exercice 4 (3 points) H = (3x + 2)² ( (3x + 2)(x ( 2) a) Développer H. b) Factoriser H. exercice 5 (5 points) Sur la couverture

3. a. démontrer qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique l’affixe de ces deux points. EXERCICE 4 : non spécialistes (5 points) On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe f (z) = [pic]. L’exercice étudie quelques propriétés de f . Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ([pic]) d’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1

l’image Imϕ est le sous groupe monogène engendré par a. – Si ϕ est injective, alors < a > est isomorphe a Z. on dit que a est d’ordre infini. – Supposons ϕ est non injective. kerϕ qui est un sous groupe de Z est de la forme nZ, n est le plus petit entier non nul verifiant a n = e, n s’appelle l’ordre de a et se note o(a). n = o(a) ssi (a n = e et a p = e ssi n divise p) Dans ces conditions le sous groupe monogène < a > est réduit à l’ensemble de cardinal n suivant : < a >= {e, a, .., a n−1 Proposition

formules logiques, des objets physiques, etc. De la méthode Un algorithme, très simplement, c'est une méthode. Une façon systématique de procéder pour faire quelque chose : trier des objets, situer des villes sur une carte, multiplier deux nombres, extraire une racine carrée, chercher un mot dans le dictionnaire… Il se trouve que certaines actions mécaniques - peut-être toutes ! - se prêtent bien à la décortication. On peut les décrire de manière générale, identifier des procédures, des suites

effectivement). A côté de cela, il existe souvent de nombreux algorithmes pour résoudre un problème donné; leurs qualités propres permettront de les différencier. Un algorithme doit être implémenté sur un ordinateur. Celui-ci ne possède jamais qu’un nombre limité de mémoire de stockage d’information dont la précision est limitée. De ce fait pour résoudre certains problèmes qui en théorie pourraient requérir un calcul trop long, ou une précision ou un stockage d’information trop importants, des algorithmes