PGCD de nombres entiers

Chapitre 2 : Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples, d’autres

CONCOURS GENERAL 2000 |                                                                  Problème | |Ce problème traite des triangles dit cartésiens, c'est à dire à côtés entiers   | |                                            BC = a , CA = b et AB = c , | |dont l'angle en A mesure [pic].   Sauf avis contraires, ABC est supposé

ils ne peuvent pas être des multiples de 90. Le partage en 90 ballotins laisse des restes donc ne convient pas. b) Ils veulent faire le maximum de ballotins. Donc le nombre de ballotins sera le PGCD de 3 003 et 3 731. J’utilise la méthode de Monsieur Euclide. 3 731 = 3 003 × 1 + 728 3 003 = 728 × 4 + 91 728 = 91 × 8 + 0 PGCD(3 003; 3 731) = 91 Donc Emma et Arthur peuvent faire au maximum 91 ballotins équitablement répartis sans reste. 3 003 ÷ 91 = 33 et 3 731 ÷ 91 = 41 Dans chaque ballotin

Expérimentez avec vos objets. [ver. 06/06/2013] INFORMATIQUE Page 2/27 11TG Gdt-Java Exercice 4 : Branches Définissez la classe SchoolSubject avec les attributs test1, test2 et test3 représentant les notes des 3 devoirs (nombres entiers) écrits dans cette branche. Définissez la méthode setMarks (avec 3 paramètres) permettant de donner des valeurs aux trois notes. Développez les méthodes getSum, getProduct, getAverage permettant de calculer • • • la somme, le produit

L'algorithme est l'ensemble des règles et d'instructions à suivre, effectivement exécutables, permettant d'obtenir un résultat clairement défini en un nombre fini d'étapes. En classe de 3°, nous utilisons par exemple l'algorithme d'Euclide dans le but de calculer le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers positifs. II-sa vie 1) Al Khwarizmi est un grand savant perse qui a vécu durant le IX° siècle, au début du Moyen-âge. Il naît environ

de 6. 2. Affirmation 2 : 4 n’admet que deux diviseurs. 3. Affirmation 3 : Deux nombres impairs n’ont que 1 comme diviseur commun. 4. Affirmation 4 : Tous les nombres premiers sont impairs. 5. Affirmation 5 : Tous les nombres impairs sont premiers. Exercice 2. Multiple de 10 : D’après Brevet 2014 Pondichéry. (c) « Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J’ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j’enlève 21. J’obtiens toujours un multiple de 10. » Est-ce

Exercice 1 Pondichéry avril 2012 Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : « Découpe dans ces plaques des carrés tous identiques, dont les longueurs des côtés sont un nombre entier de cm, et de façon à ne pas avoir de perte. » 1) Peut-il choisir de découper des plaques de 10 cm de côté ? Justifier votre réponse. 88 n'est pas divisible par 10, donc il ne peut pas découper des plaques de 10 cm de côté. 2) Peut-il choisir

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fractions rationnelles 2.1 Degr´, partie enti`re . . . . . . . . . . . e e 2.2 Pˆles et partie polaires . . . . . . . . . . o 2.3 D´composition en ´l´ments simples . . . e ee 2.4 Pratique de la d´composition en ´l´ments e ee . . . . . . . . . . . . . . . simples 2 Chapitre 1 Polynˆmes

1 3 B= C= A= + × + 1 4 4 3 3 10−1 3+ 4 Exercice 2 Écrire D sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers. D= 3 12 + 27 − 5 3. Exercice 3 E = (2x − 3)2 − 3(2x − 3). 1. Développer E . 2. Factoriser E . 3. Résoudre l’équation (2x − 3x)(2x − 6) = 0. 4. Calculer E pour x = 2. (on écrira le résultat sous la forme a − b 2 où a et b sont deux nombres entiers). Exercice 4 1. Calculer le PGCD de 696 et 406. 406 irréductible. 2. Rendre la fraction 696 A CTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1

3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Nombres complexes