PGCD de nombres entiers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 4 Nombres complexes 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques

gros est égale à 0, 003. On nomme X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 2 000 cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres. 1. La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les 2 000 tirages sont indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu’un cône soit défectueux

normaux et lemme d’Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compactification d’Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Série des inverses des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutations d’une série semi-convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fractions rationnelles et suites réccurentes

J.F. KENNEDY DECEMBRE 2008 L’usage de la calculatrice est autorisé. Aucun document n’est autorisé Rédaction et soin sur 4 points Activités numériques (12 points) Exercice 1 : En précisant les différentes étapes de calcul : 2 8 7 1) Ecrire le nombre A sous forme d’une fraction irréductible : A = 3 – 3 : 7 2) Donner l’écriture scientifique de B = 49 x 103 x 6 x 10–10 14 x 10–2 Exercice 2 : Dans un collège, il y a 575 élèves. Une enquête a permis d’obtenir les renseignements suivants : - 8%

dans l’urne B. a. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent chacune que des boules de même couleur ? b. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes contiennent chacune 5 boules blanches et 5 boules noires ? 2. Soit x un entier tel que 0 x 10. On place maintenant x boules blanches et 10 − x boules noires dans l’urne A et les 10 − x boules blanches et x boules noires restantes dans l’urne B. On procède à l’expérience E : On tire au hasard une boule de A et on la met dans

rédaction Activités numériques. (12 points) Exercice 1 : On donne les nombres : 3 2 21 A= – × 7 7 8 3 × 102 × 1,8 × 10 – 3 6 × 104 B= C = 12 – 5 75 + 2 147 Ecrire toutes les étapes de calcul pour chacune des questions suivantes : 1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 2) Donner l'écriture scientifique, puis décimale de B. 3) Ecrire C sous la forme a 3, où a est un nombre entier. Exercice 2 : On pose : D = (5x + 3) (2x – 7) - (2x – 7)² 1) Développer

Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule de Taylor e e 15 Int´gration e 16 Quelques fonctions usuelles

problème spécifie la relation input / output souhaitée. Notion d’algorithme 4 Exemples : 1. Multiplication Input : deux entiers a et b Output : leur produit ab Algorithme : celui de l’école 2. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) Input : deux entiers a et b Output : pgcd(a,b) Algorithme : celui d’Euclide 3. Primalité Input : un entier a Question : a est-il un entier premier? Cas spécial : problème de décision - output = réponse oui/non à une question. Notion d’algorithme 5 Donner une

b. Démontrer que a h(x) dx = A. P. M. E. P. Baccalauréat S E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 5 points Partie A Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a = 1). On pose, pour tout entier naturel n, v n = un − b . 1−a 1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a. 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un ) a pour b limite

Basculement des résultats des calculs............................... 10 Calculs de base .................................................................... 11 Division avec affichage de résidu ........................................ 14 Factorisation en nombres premiers......................................15 Calculs de fonctions ............................................................. 16 Utilisation de CALC ............................................................... 19 Calculs statistiques (STAT)