Pierre de Fermat

rédigés. Barême indicatif. Durée : 1h – Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11) 1

(11) donc (2 4 ) 2 º 5 2 (11) soit 2 8 º 3 (11) 2 10 = 2 8 ´ 2 2 donc 2 10 º 3 ´ 4 (11) soit 2 10 º 1 (11) Autre solution plus courte ; Petit théorème de Fermat : Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors a p – 1 º 1 [p] 11 est un nombre premier et 11 ne divise pas 2 donc d'après le petit théorème de Fermat : 2 11 – 1 º 1 [11] (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2 2009 = 2 2000 ´ 2 9 = (2 10 ) 200 ´ 2 9 donc 2 2009 º

strictement croissante sur [0 ; d ] et s'annule en un unique point v 1  a2 x 0 v 2  x 0−d 2 b2 (on ne cherchera pas à calculer x 0 ). 4. En déduire le tableau de variation de t sur [0 ; d ] et que t est minimal en x 0 . 5. Selon le principe de Fermat, le rayon lumineux parcourt le trajet AIB en un temps minimal. Montrer que cela revient à ce que les angles i 1 et i 2 désignés sur la figure vérifient x 0 de [0 ; d ] tel que x0 = 2 d −x 0 sini 1  v 1 = . sin i 2  v 2 On désigne

Diophante (Diophantos en grec), de son vrai nom Diophante d'Alexandrie, est souvent considéré comme le père de l'algèbre. On ne sait presque rien de sa vie. On estime qu'il a vécu vers le IIIème siècle après J. C.. Il n'y a que trois choses dont on soit certains :- Il a vécu avant Théon d'Alexandrie (car celui-ci cite Diophante) donc avant la seconde moitié du Ivème siècle de notre ère- Il a vécu après Hypsiclès (car Diophante cite Hypsiclès) soit après la première moitié du IIème siècle avant J

a constaté que, modulo 7, les puissances de10 engendraient les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Il convient de s’interroger sur la possibilité d’utiliser d’autres nombres premiers. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 7. Par le petit théorème de Fermat, on sait que : 10p-1 ≅ 1 (p) On désigne alors par o(p) le plus petit entier supérieur ou égal à 1 tel que : 10o(p) ≅ 1 (p) o(p) est un entier qui divise p-1. C’est l’ordre de 10 dans (Z/pZ)* et en outre on a 10k ≡ 1 (p) si et seulement si k est un

casernes furent construites et l'armée quitte les lieux. C'est le lycée Pierre de Fermat qui récupère les bâtiments. 1920-1972: Rénovations de tous les bâtiments. Aujourd'hui: cette église de briques présente un aspect extérieur très massif, mais son architecture intérieure est restée légère. CREATION : 1215 PAR QUI ? par l'ordre des frères prêcheurs QUI A FIANCEE :   Guillaume-Pierre Godin. STYLE  : Gothique Elle est composée de :

4/ Pierre de Rosette Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : Navigation, rechercher Pierre de Rosette | La pierre de Rosette | Type | Stèle | Dimensions | 112 centimètres (hauteur), 76 cm (largeur), environ 28 cm (épaisseur) | Matériau | Granodiorite | Méthode de fabrication | Gravure | Période | IIe siècle av. J.-C. | Culture | Dynastie des Ptolémées, Égypte ancienne | Lieu de découverte | Rosette | Date de découverte | juillet 1799 | Conservation | British

BCPST . Lycée Pierre de Fermat Année  -  Toulouse Chapitre no 5 : Suites récurrentes classiques I Suites arithmétiques Définition : Soit r un réel. Une suite arithmétique de raison r est une suite réelle (un)n∈N qui vérifie pour tout entier naturel n la relation de récurrence un+1 = un + r. Expression de un en fonction de n Propriété : Si (un)n∈N est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors l’expression de un en fonction de n est donnée par : ∀n ∈ N

dans les autres milieux. L'affirmation « la vitesse de la lumière est constante », n'a de sens que « dans le vide », ce qui est souvent sous-entendu. La lumière est un peu plus lente dans l'air, et notablement plus lente dans l'eau. Le principe de Fermat ou les lois de Descartes permettent de déduire les changements de trajectoire de la lumière lorsqu'elle passe d'un milieu à l'autre en fonction de sa vitesse dans chacun des milieux. La lumière peut d'ailleurs être décomposée (les faisceaux prennent

triangle arithmétique qu'il énonce pour la première fois le principe du raisonnement par récurrence. Blaise Pascal est également, avec Pierre Fermat, le fondateur du calcul des probabilités. Une correspondance suivie s'établit entre les deux hommes autour de la résolution de problèmes comme celui posé par un joueur, le Chevalier de Méré, et transmis à Fermat par Pascal, présentant une situation dans laquelle deux joueurs veulent quitter la table avec la fin de la partie. Chacun s'ayant vu attribuer