Poisson Zebre

aléatoires indépendantes équidistribuées. Le flux est alors ce qu’on appelle un processus de renouvellement stationnaire. Le cas le plus simple est celui où la loi commune est la loi exponentielle, le flux d’arrivée est alors un processus de Poisson. b) Un organe de service qui est caractérisé par : 1. Le temps de service : un client qui commence à être servi sera immobilisé pendant un temps aléatoire dont on supposera connue la loi. 2. Le nombre de guichets. c) Une règle de service

Aix-Marseille Université 2009 10 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives p chart c chart 2.2 c chart • Distribution – nombre de défaut D par unité de contrôle – nombre d’infection nosocomiale par mois Di → Loi de Poisson, (c ) moy (D ) = c var(D ) = c J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université 2009 11 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives k p chart c chart • Estimation ∑ Dj – de la moyenne µ: µ D = c = j =1 ˆ ˆ k ˆ ˆ –

a- Processus d’arrivée des clients : L’arrivée des clients est décrite à l’aide d’un processus stochastique de comptage. Ce processus suit une loi de probabilités décrivant l’inter arrivées des clients. En général, ce processus suit une loi de poisson ʎ. b- Temps de service : Le temps de service d’un client est le temps séparant le début et la fin de service de ce client. Ce temps, de sa part, suit une loi de probabilités qui est, en général, une loi exponentielle µ. c- Nombre de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LE CONTE D’ ALADIN & LA MER DE CORAIL Il était une fois un très beau jeune homme nommé Aladin. Il se baignait dans la mer de corail avec ses amis la petite sirène Ariel et le poisson clown Nemo. Soudain, Aladin plongea seul dans les profondeurs où l’eau est presque noire. Là, il rencontra Ursula, la vilaine et très laide sorcière des mers. Ursula qui rêvait et attendait son prince charmant, fut immédiatement subjuguer par son charme. Elle tomba amoureuse et décida de garder le jeune homme

2 3 4 5 x 6 7 8 9 10 Distribution de Poisson Représentation d ’une variable de comptage (discrète mais pas de borne supérieure) exp(−λ )λk P( X = k ) = k! Pr( X = 0) = exp(−λ ) Somme de deux lois de Poisson La somme de deux lois de Poisson indépendantes de paramètres λ1 et λ2 est aussi une loi de Poisson de paramètre λ1+ λ2 Pr( X = +∞) = 0 λ est le paramètre de la distribution de Poisson L ’espérance et la variance d ’une distribution de Poisson sont égales à λ Comparaison de la loi

tassement accroissement de contrainte en Pa G en Pa ou daN/mm2 G = O,4 E lt dilatation linéique transversale lo dilatation linéique longitudinale k en Pa p accroissement de pression ou module transversal E G= 2(1 + n ) 8 t Coefficient de Poisson e lo n= e lt p k=q 9 q accroissement de volume / volume de référence Module de compressibilité volumique k 10 11 M MEMENTO RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX M10 1 2 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 3/4 CISAILLEMENT – TORSION F1

Alors, déçu, vexé, il referma la bouche, fit taire son étuve puis il se rendormit avec ses rêves de Vésuve. Pierre Coran Le poisson rouge Le poisson rouge De mon école A la rougeole Il ne veut pas Que chacun voie Ses boutons rouges Dès que l'eau bouge Le peureux plonge Sous une éponge Moi je connais La vérité Mais je me tais Le poisson sait Que dans l'école Je cache et colle Mon chewing-gum Sous l'aquarium. Pierre Coran L’automne L'automne au coin du bois

. . . . . . . . . 7.4 Quelques r´sultats sur quelques lois de probabilit´ usuelles . . . e e 7.4.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Loi g´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 7.4.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Loi gamma et loi du chi-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Convergent, mais il peut être biaisé en échantillon fini. Asymptotiquement efficient, il atteint la borne de Cramer Rao. Asymptotiquement distribué selon une loi normale. Exemple Avec une loi discrète On souhaite estimer le paramètre λ d'une loi de Poisson à partir d'un n-échantillon. L'estimateur du maximum de vraisemblance est : Démonstration La vraisemblance s'écrit : La vraisemblance étant positive, on considère son Logarithme naturel : La dérivée première s'annule quand : La dérivée