Polynôme caractéristique

Polynˆmes et nombres complexes o Table des mati`res e 1 Polynˆmes o 1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . . o 1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles e e 1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . . o e e 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 7 2 Nombres complexes 2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 20 3 Suites 3.1 Exercices

z16 3 2 3 3 2 24 5 24 = = 201-016-50 Les polynômes Soit le polynôme suivant : −4x2 y3 − 6x2 y2 − 4xy + 5 . a) Quel est le terme constant ? b) Quel est le degré et quel est le coefficient du premier terme ? c) Quel est le degré et quel est le coefficient du deuxième terme ? d) Quel est le degré et quel est le coefficient du troisième terme ? e) Quel est le degré du terme constant ? f) Quel est le degré du polynôme ? Produit de polynômes Effectuer et simplifiez votre réponse s’il y a lieu:

suppose que tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 − 5)2 − 24. Correction 7. 1. Soit α β ∈

Les polynômes A° Définitions : • Un monôme de variable x et à coefficient a est une expression de la forme a . xn dans laquelle a est un nombre réel non nul et n est un nombre naturel. • Le degré d’un monôme par rapport à une variable est l’exposant de cette variable dans le monôme. • Des monômes semblables sont des monômes qui ont la même partie littérale. • Des monômes opposés sont des monômes semblables dont les coefficients sont opposés. • Un polynôme est une

a et s’annule si x = x1 . (c) si ∆ > 0 alors ax2 + bx + c a deux racines x1 et x2 et on obtient le tableau de signes suivant : x −∞ x1 0 signe de −a x2 0 +∞ signe de a ax2 + bx + c signe de a FONCTIONS POLYNOMES : Dans cette partie on examine les méthodes d’étude d’une fonction polynôme du second degré et du troisième degré. 1. Le plan d’étude d’une fonction : (a) calcul de la dérivée f de f . (b) étude du signe de f (x) sur l’intervalle d’étude. (c) construction du tableau de variations de

10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non

+ y = = 7 et xy = S = 12 2 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré. Exemples

Fiche Révision n°1. Polynôme et équation du 2nd degré L'expression ax 2bxc est un polynôme du 2nd dregré. Pour résoudre l'équation du second degré ax 2bxc=0 où a, b et c sont des réels , a non nul, ou pour déterminer le signe de l'expression ax 2bxc , On calcule la quantité : Δ = b² – 4ac , (ce réel est appelé discriminant du trinôme ax 2bxc ). ax 2bxc=0 n'a pas de solution. Si Δ < 0 , l'équation n'a pas de racines réelles. L'équation On ne peut pas factoriser l'expression ax 2bxc

l’équation =0 sont appelées les racines du polynôme. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Théorème de factorisation o si riser o si ser o si dans . gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 18 7 September 2011 alors il y a deux racines et et on peut facto- alors il y a une seule racine et on peut factori- alors le polynôme ne peut pas être factorisé Chap

Exercices de math´matiques e HX3 2011-2012 J’ai rassembl´ les plus beaux exercices de TD de cette ann´e suivant certaines r`gles : Je ne garde que ceux qui e e e poss`dent une solution “ originale ” qui n’a pas ´t´ propos´ dans la correction des TD. On trouvera aussi quelques e ee e exercices de d´but d’ann´e qui n’ont jamais ´t´ corrig´s, sauf quelques uns au tableau. e e ee e Le tout est regroup´ par th`mes : Alg`bre g´n´rale (et d´but d’ann´e), Analyse, et Alg`bre lin´aire. Les solutions e e