Polynôme caractéristique

Chapitre 1 : Fonctions polynômes 1. Les fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction polynôme du second degré est une fonction �� définie sur ℝ par : �� �� = ���� 2 + ���� + �� �������� ��, �� ���� �� ������ ��é������ ���� �� ≠ 0 a) Forme canonique Il s’agit de factoriser la fonction polynôme �� �� ���� 2 + ���� + �� = �� �� 2 + �� + �� �� 2 �� �� 2 �� = �� �� + − 2+ 2�� 4�� �� = �� �� �� + 2�� 2 �� 2 − 4���� − 4��2 Rappel : �� + �� 2 = �� 2 + 2���� + ��2 �� 2 − �� = �� − �� ��

Déduire à partir des variations de la fonction « carré » les variations d’une fonction polynôme de degré 2. Les variations de la fonction carré (décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; + [) étant connues et écrites dans le cours, on a le droit de les utiliser dans un exercice sans le redémontrer. Elles permettent de justifier qu’une fonction qui « ressemble » à la fonction carré (comme , ; ou un intervalle. a) b) c) d) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Montrer que la

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =

POLYNÔMES FRACTIONS ALGEBRIQUES Gérard Buzaglo MathématiqueMATH 436 - Lidec Extraits: - Essentiel - Mathématique 2000 MATH 436 - Guérin 1. Polynômes 1.1 Monôme 1.2 Apérationsentre Monômes 1.3 Polynôme 1.4 Sommeet differencede polynômes 1.5 ldentitésremarquables 1.6 Quotientde polynômes 1.7 Théorèmedu reste 2. Factorisation...... simple 2.1 Mise en évidence 2.2 Mise en évidencedouble 2.3 Difference de deux carrés en 2.4 Factorisation plusieursétapes 2.5 Trinômes carrésparfaits 2.6 Discriminant

Fonctions polynômes du second degré I. Rappels Définition : f est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois nombre a, b et c tels que pour tout x∈R : fx=ax2+bx+c où a, b et c sont les coefficients de polynômes Théorème : Le tableau de variation de la fonction f est : 1er cas : a&gt;0 2e cas : a&lt;0 En particulier, la fonction f admet un extremum en x=α Théorème 2 : Dans un repère ortho normal (O ; I ; J), la courbe représentative de la fonction polynôme du second

| |Utilisation des TIC pour représenter graphiquement, estimer le |Expression algébrique, nature et allure de la courbe représentative de la| |maximum ou le minimum d’une fonction polynôme du second degré et |fonction : | |conjecturer son sens de variation sur un intervalle. |[pic] |

1S Le 14/10/13 CORRECTION DEVOIR DE MATHEMATIQUES N°1 Sujet A 2ND DEGRE - VECTEURS Exercice 1 : 1. Soit P 1 : x  - 2 x ² + 3x - 1 et P 2 : x  6 x ² + 9 x – 6 deux polynômes du second degré définis sur R Pour chaque polynôme, déterminer : a. Les racines éventuelles b. La forme factorisée (éventuelle) c. Le tableau de signes sur R P 1 : x  - 2 x ² + 3x – 1 P2:x6x²+9x–6 Avec a = - 2, b = 3 et c = - 1 Avec a = 6 ; b = 9 et c = - 6 Racines : Racines : On remarque que a + b + c

Année universitaire 2013-2014 - Premier semestre AES L1 S1-Mathématiques Equations du premier degré Soit a = 0 et b deux réels donnés, Toute équation de la forme ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont des nombres réels donnés , a = 0 et x est b l’inconnue, admet une unique solution x = . a AES L1 S1-Mathématiques Equations du premier degré Soit a = 0 et b deux réels donnés, Toute équation de la forme ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont

3ième méthode : Les opérations sur les DL de type addition, multiplication, division, composition Soit les fonctions f et g On suppose que ces 2 fonctions ont chacune un DL d’ordre n en 0 Soit P1 le polynôme tel que f ( x ) = P1 ( x ) + x n ε1 ( x ) (la partie régulière de f) Soit P2 le polynôme tel que g ( x ) = P2 ( x ) + x n ε 2 ( x ) (la partie régulière de g) On a : 1. ( f + g )( x ) = ( P1 + P2 )( x ) + x n ε3 ( x ) P1 + P2 est la partie régulière du DL d’ordre n de la fonction f +

polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme. Exemple 1. Soit l’équation (1) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0, dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose P (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10. Le problème consiste à trouver toutes les racines, s’il en existe, du polynôme P , qui est du troisième degré. La première des choses à faire est de procéder à des essais numériques : c’est la recherche de racines évidentes