Polynôme caractéristique

+ 6y = tet �������� Solution � : L’équation caractéristique est r2 − 5r + 6 = (r − 2) (r − 3) , les solutions de l’équation homogène en y sont de la forme λe2t + µe3t. On pose alors y (t) = z (t) et. Alors y′ (t) = z′ (t) et + z (t) et y′′ (t) = z′′ (t) et + 2z′ (t) et + z (t) et d’où (après division par et �= 0) y′′ − 5y′ + 6y = tet ⇐⇒ z′′ + (2− 5) z′ + (1− 5 + 6) z = t ⇐⇒ z′′ − 3z′ + 2z = t On cherche ensuite une solution sous la forme d’un polynôme de degré 1, z (t) = at+ b. Alors z′′ − 3z′ +

de fonctions 1ère : Deuxième degré - 2 I – Fonction polynôme de degré 2 a) Degré d’un polynôme Définition Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance de l’inconnue. Exemples a) 𝑥3 − 5 𝑥2 + 𝑥 − 6 est un polynôme de degré 3 b) 𝑥3 − 5 𝑥2 + 𝑥4 − 6 est un polynôme de degré 4 c) 17 𝑥15 − 15 𝑥17 est un polynôme de degré 17 d) 3 𝑥 + 2 est un polynôme de degré 1 ...car 3 𝑥 + 2 = 3 𝑥1 + 2

puissance nième d’une matrice n × n (à n lignes et n colonnes). a b  A=  a ' b'     La trace de A Tr (A) = a + b' Le déterminant de A Det (A) = ab'− ba ' Le polynôme caractéristique de A PA (λ) = λ2 − Tr (A)λ + Det (A) Le spectre de A S pe(A) = { λ i / P(λ i ) = 0 } : le spectre de A est l’ensemble des racines de son polynôme caractéristique PA (λ) . • Une racine de PA (λ) peut être un nombre complexe. Le théorème de CALEY-HAMILTON Si A est une matrice 2 × 2 alors A 2 − Tr (A)A + Det (A)I = O 2

polynômiale du temps, linéaire et εtun processus stationnaire de type ARMA. Le processus TS le plus simple est représenté par une fonction polynômiale de degré 1. Ce processus s’écrit : xt=a0+a1t+ εt Siεt est un bruit blanc (gaussien ou non), les caractéristiques de ce processus sont alors: Ext= a0+a1t+Eεt= a0+a1t Vxt=0+Vεt= σε2 covxt , xt'=0 pour t≠ t' Ce processus TS est non stationnaire car Extdépend du temps. Comme cette espérance est égale àa0+a1t , il s’agit à l’instant td’un chiffre

1. Définition et représentation graphique a) Définition Une fonction affine est une fonction du premier degré, définie par f(x) = mx+p m = p = Les caractéristiques de cette droite sont données par les réels m et p. m : est le coefficient directeur. Comme sont nom l’indique il indique la direction de la droite Par exemple si m > 0 la droite est croissante si m< 0 la droite est décroissante. b) Lecture graphique La lecture graphique de m se fait comme ci-dessous c’est-à-dire : m

à l'échelle pour le calcul des valeurs propres qz svd pinv cond rcond norm valeurs propres généralisées décomposition en valeurs singulières pseudo-inverse suivant norme L2 ( [(λmax)/( λmin)]) ≅ 1 bon , ≅ 0. mauvais normes L1,L2,Lp et L∞ polyeig polynôme aux valeurs propres Conditionnement condest suivant norme L1 normest estimateur de la norme L2 rank rang Fonctions de Matrices expm exponentiation (fonction interne) expm1 M_file correspondant à expm expm2 exponentiation par série

par v. Polynômes d’endomorphismes Soit u ∈ L(E). On définit l’application φu : K[X] → L(E), φu (P ) = P (u) C’est un morphisme de la K-algèbre K[X] dans la K-algèbre L(E). im φu est une sous-algèbre commutative de L(E) appelée algèbre des polynômes de u et notée K[u]. ker φu est un idéal de K[X] appelé idéal annulateur de u et noté Ju Décomposition des noyaux Théorème Soit u ∈ L(E), P1 , · · · , Pp des polynômes de K[X] premiers entre eux deux à deux et P le produit de ces polynômes. On a alors

année Autres structures algébriques 1re année 138 141 Relations 1re année Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 128 VI Table des matières 46 47 Exponentielle complexe 1re année 144 48 49 Polynômes 1re année 149 153 Fractions rationnelles 1re année Nombres complexes et géométrie plane 1re année 147 Partie 4 – Algèbre linéaire et multilinéaire 50 51 52 53 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Structure d’espace

délaitotal = délaitransmission + délaipropagation 1.4 Classification des réseaux Les réseaux sont caractérisés non seulement par leur débit, mais également par le rayon de couverture géographique qu’ils permettent d’atteindre. Les différentes caractéristiques sont présentés dans le Tableau 1.3. Le PAN est utilisé chez un particulier, le LAN dans un bâtiment (ou plusieurs bâtiments proches) d’une entreprise, le MAN interconnecte différents sites à l’échelle d’une agglomération, et le WAN s’étend sur

−0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −1 −0.8 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figure 1.2 – Le polynôme p(z, d) pour trois valeurs de d prés de zéro (d = −0.07, 0, 0.09). 1.1.1 Problèmes bien/mal posés La notion de problème bien/mal posé a été introduite pour la première fois par Hadamard [3]. Afin de faciliter la présentation dans l’analyse